Seja f(x)=x^4-3 x^3+1 a função geradora dos pontos da tabela. Qual a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento cometido a.o realizar a interpolação quadrática na abscissa 2,8?
A 4,641
B 4,368
© 3,744
(D) 3,549
( 2,496

Passo 1

Resumo do enunciado: a função dada é
f(x)=x^4 - 3x^3 + 1
e a gente quer interpolar por um polinômio de grau 2 usando três pontos de uma tabela (que, na prática, são os pontos ). Depois, avaliamos esse polinômio em . A matéria aqui é interpolação polinomial de Lagrange e, em especial, a fórmula do resto (erro de truncamento). Para resolver, precisamos:
  • A expressão do resto em interpolação quadrática.
  • A terceira derivada e seu valor máximo no intervalo que contém os nós (aqui ).
  • O produto .

Passo 2

Fórmula do erro (resto) para interpolação de grau 2 (Lagrange):
R2(2,8) =f^(3)(xi)3!,(2,8 - x0),(2,8 - x1),(2,8 - x2)
para algum em , onde , , .

Passo 3

Calcular a terceira derivada de f(x)=x^4 -3x^3 +1 Longrightarrow f'(x)=4x^3 -9x^2,; f''(x)=12x^2 -18x,; f^(3)(x)=24x -18 :
M = max[2,4]|f^(3)(x)| = |f^(3)(4)| = 24cdot4 -18 = 96 - 18 = 78
Como cresce em , o máximo em é em :

Passo 4

Calcular o produto dos deslocamentos:
(2,8 - 2),(2,8 - 3),(2,8 - 4) =0,8 times (-0,2)times(-1,2) =0,192

Passo 5

Agora montamos a cota superior do erro:
|R2(2,8)| <= M3!,l|(2,8-2)(2,8-3)(2,8-4)r| = 786times 0,192 =13 times 0,192 =2,496

Resposta

A cota superior do valor absoluto do erro de truncamento é 2,496.

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