Seja
. Calcule o limite superior das raízes positivas de
utilizando o Teorema de Lagrange.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite superior das raízes positivas de
usando o Teorema de Lagrange.
As informações dadas são as coeficientes do polinômio
As informações dadas são as coeficientes do polinômio
Listei os coeficientes importantes:
A pergunta específica é: encontrar
tal que todas as raízes positivas de
sejam menores ou iguais (ou estritamente menores, dependendo da versão) a esse
, usando o Teorema de Lagrange.
Passo 2
Enunciado do Teorema de Lagrange (forma usada aqui, às vezes chamada de cota de Cauchy/Lagrange): seja
com
. Defina
Então toda raiz positiva
de
satisfaz
Vou agora explicar por que isso é verdade, passo a passo, para você poder aplicar na prova sem medo.
Prova intuitiva e didática do teorema:
- Seja
uma raiz de . Se já temos uma cota pequena (não precisamos de Lagrange). Então suponha . - Como
é raiz, . Isolando o termo de maior grau:
- Tomando valores absolutos:
- Pelo fato de
ser o máximo dos , cada . Assim
pois a soma geométrica
para
.
5. Reorganizando a desigualdade:
5. Reorganizando a desigualdade:
Como
, obtemos
- Finalmente,
Isso demonstra a cota proposta. Observação: se
então certamente
também, logo a desigualdade vale para toda raiz positiva.
Passo 3
Agora aplico a fórmula ao polinômio dado. Já tenho
. Calculo
como o máximo dos módulos dos coeficientes restantes:
Portanto
Passo 4
Substituo na cota de Lagrange:
Pela demonstração do teorema, toda raiz positiva
de
satisfaz
Assim um limite superior (cota) para as raízes positivas é
.