Seja P(x)=4 x^{4}-5 x^{3}+6 x^{2}-7 x+12=0. Calcule o limite superior das raízes positivas de P(x)=0 utilizando o Teorema de Lagrange.
L=

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite superior das raízes positivas de P(x)=0 usando o Teorema de Lagrange.
As informações dadas são as coeficientes do polinômio
P(x)=4x^{4}-5x^{3}+6x^{2}-7x+12.
Listei os coeficientes importantes:
a_{4}=4,\quad a_{3}=-5,\quad a_{2}=6,\quad a_{1}=-7,\quad a_{0}=12.
A pergunta específica é: encontrar L tal que todas as raízes positivas de P(x)=0 sejam menores ou iguais (ou estritamente menores, dependendo da versão) a esse L, usando o Teorema de Lagrange.

Passo 2

Enunciado do Teorema de Lagrange (forma usada aqui, às vezes chamada de cota de Cauchy/Lagrange): seja
P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0}
com a_{n}>0. Defina
M=\max_{0\le k\le n-1}|a_{k}|.
Então toda raiz positiva r de P satisfaz
r<1+\frac{M}{a_{n}}.
Vou agora explicar por que isso é verdade, passo a passo, para você poder aplicar na prova sem medo.
Prova intuitiva e didática do teorema:
  1. Seja r>0 uma raiz de P. Se r\le 1 já temos uma cota pequena (não precisamos de Lagrange). Então suponha r>1.
  2. Como r é raiz, \;a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{0}=0. Isolando o termo de maior grau:
a_{n}r^{n} = -(a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_{0}).
  1. Tomando valores absolutos:
a_{n}r^{n} \le |a_{n-1}|r^{n-1} + |a_{n-2}|r^{n-2} + \cdots + |a_{0}|.
  1. Pelo fato de M ser o máximo dos |a_k|, cada |a_k|\le M. Assim
a_{n}r^{n} \le M\,(r^{n-1}+r^{n-2}+\cdots+1)=M\frac{r^{n}-1}{r-1},
pois a soma geométrica r^{n-1}+\cdots+1=(r^{n}-1)/(r-1) para r\neq1.
5. Reorganizando a desigualdade:
a_{n}r^{n}(r-1)\le M(r^{n}-1)\quad\Rightarrow\quad a_{n}(r-1)\le M\left(1-\frac{1}{r^{n}}\right).
Como 1-\frac{1}{r^{n}}<1, obtemos
a_{n}(r-1)<M.
  1. Finalmente,
r-1<\frac{M}{a_{n}}\quad\Rightarrow\quad r<1+\frac{M}{a_{n}}.
Isso demonstra a cota proposta. Observação: se r\le1 então certamente r<1+M/a_n também, logo a desigualdade vale para toda raiz positiva.

Passo 3

Agora aplico a fórmula ao polinômio dado. Já tenho a_{n}=a_{4}=4. Calculo M como o máximo dos módulos dos coeficientes restantes:
|a_{3}|=|-5|=5,\quad |a_{2}|=6,\quad |a_{1}|=7,\quad |a_{0}|=12.
Portanto
M=\max\{5,6,7,12\}=12.

Passo 4

Substituo na cota de Lagrange:
1+\frac{M}{a_{n}}=1+\frac{12}{4}=1+3=4.
Pela demonstração do teorema, toda raiz positiva r de P satisfaz
r<4.
Assim um limite superior (cota) para as raízes positivas é 4.

Resposta

L=4

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