Seja ABC um triângulo retângulo em B , com altura BT , T sobre a hipotenusa AC. Construa os triângulos equiláteros BTX e BTY de modo que
esteja no mesmo semiplano que A com relação a BT no e Y esteja no mesmo semiplano que C com relação a BT . O ponto P é a interseção de AY e CX. Prove que
Passo 1
Vamos resumir e identificar o que precisamos. Temos o triângulo
retângulo em
. A altura em
encontra a hipotenusa
em
. Sobre o segmento
construímos dois equiláteros:
-
, com no mesmo semiplano de em relação a . -
, com no mesmo semiplano de em relação a .
As retas
e
intersectam-se em
. Queremos mostrar a igualdade de produtos
O que vamos usar é a noção de rotação (semelhança direta) de
em torno de
e o fato de que o ponto de interseção de dois raios de espiral-semelhança tem razões de segmentos dadas pelas razões dos lados correspondentes.
Passo 2
Defina em torno de
duas rotações-semelhança:
-
: rotação de centro e ângulo .
Do equiláterotemos
-
: rotação de centro e ângulo .
Do equiláterosegue
Essas rotações mostram que há duas semelhanças diretas com centro em
que levam segmentos que saem de
em segmentos que saem de
.
Passo 3
Agora veja que a composição
leva o triângulo
no triângulo
:
-
envia e , depois -
envia um ponto sobre a reta que vai de a , e leva também .
O centro dessa espiral-semelhança que leva
e
é exatamente
, pois
está na interseção de
com
.
Pela propriedade de uma espiral-semelhança, os raios que unem
a cada vértice são proporcionais aos lados correspondentes nos triângulos
e
. Em particular, olhando para a parte que envolve
e
:
Mas, no triângulo retângulo
, o ponto
é a projeção de
sobre
, então em
temos
pois
é equilátero. Logo
Passo 4
De modo idêntico, olhando agora para a outra parte do espiral que leva
e
, obtemos
pois em
retângulo também
e em
temos
.
Assim temos
Passo 5
Basta agora multiplicar em cadeia:
- De
segue
- De
segue
Reagrupando, obtemos exatamente
que era o que queríamos demonstrar.