Seja ABC um triângulo retângulo em B , com altura BT , T sobre a hipotenusa AC. Construa os triângulos equiláteros BTX e BTY de modo que X esteja no mesmo semiplano que A com relação a BT no e Y esteja no mesmo semiplano que C com relação a BT . O ponto P é a interseção de AY e CX. Prove que
\mathrm{PA} \cdot \mathrm{BC}=\mathrm{PB} \cdot \mathrm{CA}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{AB} .

Passo 1

Vamos resumir e identificar o que precisamos. Temos o triângulo ABC retângulo em B. A altura em B encontra a hipotenusa AC em T. Sobre o segmento BT construímos dois equiláteros:
  • BTX, com X no mesmo semiplano de A em relação a BT.
  • BTY, com Y no mesmo semiplano de C em relação a BT.
As retas CX e AY intersectam-se em P. Queremos mostrar a igualdade de produtos
PA\cdot BC \;=\; PB\cdot CA \;=\; PC\cdot AB.
O que vamos usar é a noção de rotação (semelhança direta) de 60^\circ em torno de B e o fato de que o ponto de interseção de dois raios de espiral-semelhança tem razões de segmentos dadas pelas razões dos lados correspondentes.

Passo 2

Defina em torno de B duas rotações-semelhança:
  1. \rho: rotação de centro B e ângulo +60^\circ.
    Do equilátero BTX temos
\rho(T)=X \quad\Longrightarrow\quad CT\;\xmapsto{\rho}\;CX \quad\text{e} \quad BT\;\xmapsto{\rho}\;BX.
  1. \sigma: rotação de centro B e ângulo -60^\circ.
    Do equilátero BTY segue
\sigma(T)=Y \quad\Longrightarrow\quad AT\;\xmapsto{\sigma}\;AY \quad\text{e} \quad BT\;\xmapsto{\sigma}\;BY.
Essas rotações mostram que há duas semelhanças diretas com centro em B que levam segmentos que saem de T em segmentos que saem de B.

Passo 3

Agora veja que a composição \sigma\circ\rho leva o triângulo CTX no triângulo YTA:
  • \rho envia C\to X e T\to X, depois
  • \sigma envia X\to um ponto sobre a reta que vai de B a Y, e leva também T\to Y.
O centro dessa espiral-semelhança que leva C\mapsto X e T\mapsto Y é exatamente P, pois P está na interseção de CX com AY.
Pela propriedade de uma espiral-semelhança, os raios que unem P a cada vértice são proporcionais aos lados correspondentes nos triângulos CTX e YTA. Em particular, olhando para a parte que envolve C e X:
\frac{PB}{PC} \;=\; \frac{BX}{CT}.
Mas, no triângulo retângulo ABC, o ponto T é a projeção de B sobre AC, então em \triangle ABC temos
\triangle ABT \sim \triangle ABC \;\Longrightarrow\; \frac{BT}{CT} \;=\;\frac{AB}{AC} \quad\text{e também}\quad BX = BT,é
pois BTX é equilátero. Logo
\frac{PB}{PC} = \frac{BX}{CT} = \frac{BT}{CT} = \frac{AB}{AC}.

Passo 4

De modo idêntico, olhando agora para a outra parte do espiral que leva A\to Y e T\to Y, obtemos
\frac{PC}{PA} \;=\; \frac{CY}{AT} \;=\; \frac{BT}{AT} \;=\; \frac{CB}{CA},
pois em \triangle CBA retângulo também \triangle CBT\sim\triangle CBA e em BTY temos CY=BT.
Assim temos
\frac{PB}{PC}=\frac{AB}{AC} \quad\text{e}\quad \frac{PC}{PA}=\frac{CB}{CA}.

Passo 5

Basta agora multiplicar em cadeia:
  1. De \dfrac{PB}{PC}=\dfrac{AB}{AC} segue
PC\cdot AB \;=\; PB\cdot AC.
  1. De \dfrac{PC}{PA}=\dfrac{CB}{CA} segue
PA\cdot CB \;=\; PC\cdot CA.
Reagrupando, obtemos exatamente
PA\cdot BC \;=\; PB\cdot CA \;=\; PC\cdot AB,
que era o que queríamos demonstrar.

Resposta

\boxed{PA\cdot BC \;=\; PB\cdot CA \;=\; PC\cdot AB.}

Exercícios relacionados