Seja ABCD um retângulo. Sejam P e Q pontos sobre o lado AB e sobre a diagonal BD , respectivamente, tais que PQ é paralelo a AD e \mathrm{AD}=\mathrm{PQ}+2 \mathrm{BQ}. A reta perpendicular a AC que passa por P corta AC em R . Demonstre que \mathrm{PR}=2 \mathrm{~PB}.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o retângulo ABCD com lados AB e AD, o ponto P em AB e o ponto Q em BD tais que PQ\parallel AD e
AD = PQ + 2\,BQ.
A reta por P perpendicular a AC corta AC em R. Precisamos mostrar que
PR = 2\,PB.
Para isso, vamos usar geometria analítica. Escolhemos coordenadas:
A = (0,0),\quad B=(b,0),\quad C=(b,a),\quad D=(0,a),
onde a=AD e b=AB.
Passo 2
Como P está em AB, escrevemos
P=(x,0),\quad 0\le x\le b.
O segmento PQ é paralelo a AD, que é vertical, então Q tem abscissa x. Como Q também pertence à diagonal BD, parametrize BD por