Seja ABCD um retângulo. Sejam P e Q pontos sobre o lado AB e sobre a diagonal BD , respectivamente, tais que PQ é paralelo a AD e \mathrm{AD}=\mathrm{PQ}+2 \mathrm{BQ}. A reta perpendicular a AC que passa por P corta AC em R . Demonstre que \mathrm{PR}=2 \mathrm{~PB}.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o retângulo ABCD com lados AB e AD, o ponto P em AB e o ponto Q em BD tais que PQ\parallel AD e
AD = PQ + 2\,BQ.
A reta por P perpendicular a AC corta AC em R. Precisamos mostrar que
PR = 2\,PB.
Para isso, vamos usar geometria analítica. Escolhemos coordenadas:
A = (0,0),\quad B=(b,0),\quad C=(b,a),\quad D=(0,a),
onde a=AD e b=AB.

Passo 2

Como P está em AB, escrevemos
P=(x,0),\quad 0\le x\le b.
O segmento PQ é paralelo a AD, que é vertical, então Q tem abscissa x. Como Q também pertence à diagonal BD, parametrize BD por
BD:\;(b,0)+t\bigl((-b,a)\bigr)=(b(1-t),\,at),\quad 0\le t\le1.
A condição de abscissa dá b(1-t)=x, logo
t=\frac{b-x}{b},\quad Q=\Bigl(x,\,a\frac{b-x}{b}\Bigr).
Agora
PQ = \text{distância vertical} = a\frac{b-x}{b},â
BQ = t\;\bigl|BD\bigr| = \frac{b-x}{b}\,\sqrt{a^2+b^2}.
Da hipótese AD = PQ + 2\,BQ vem
a = a\frac{b-x}{b} + 2\frac{b-x}{b}\,\sqrt{a^2+b^2} \;\Longrightarrow\; a\,x = 2\,(b-x)\,\sqrt{a^2+b^2}.
Denote \displaystyle L=\sqrt{a^2+b^2}; então
a\,x = 2\,(b-x)\,L.

Passo 3

Vamos achar R, a projeção de P=(x,0) sobre a reta AC. A reta AC tem vetor direção \vec{u}=(b,a). A projeção de \overrightarrow{AP}=(x,0) em \vec{u} é
\overrightarrow{AR} =\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\;\vec{u} =\frac{x\,b}{a^2+b^2}\,(b,a) =\Bigl(\frac{x\,b^2}{L^2},\,\frac{x\,b\,a}{L^2}\Bigr).
Logo
R=\bigl(\tfrac{x\,b^2}{L^2},\,\tfrac{x\,b\,a}{L^2}\bigr).

Passo 4

Calculemos agora as distâncias
PR =\sqrt{\Bigl(x-\tfrac{x\,b^2}{L^2}\Bigr)^{2}+\Bigl(0-\tfrac{x\,b\,a}{L^2}\Bigr)^{2}} =x\,\sqrt{\Bigl(1-\tfrac{b^2}{L^2}\Bigr)^{2}+\tfrac{b^2a^2}{L^4}} =x\,\frac{a}{L}.
E
PB = \text{distância entre }(x,0)\text{ e }(b,0) = b-x.â

Passo 5

Usando a relação do Passo 2, a\,x = 2(b-x)L, obtemos
PR = x\,\frac{a}{L} = \frac{2(b-x)L}{L} = 2(b-x) = 2\,PB.

Resposta

\displaystyle PR = 2\,PB.

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