Seja ABCD um quadrado de lado ell. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD , determine:
O valor mínimo de K e a posição na qual ocorre este mínimo;

Passo 1

O enunciado pede o valor mínimo de
K, que é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P arbitrário aos vértices de um quadrado ABCD de lado ell, e também a posição de P onde esse mínimo ocorre. Vamos usar conceitos de geometria analítica e funções quadráticas para resolver.

Passo 2

Para facilitar, colocamos o quadrado num sistema de coordenadas cartesianas. Seja
A=(0,0), B=(ell,0), C=(ell,ell), D=(0,ell)
e P tenha coordenadas (x,y).

Passo 3

Cada termo de K é
PA^2 = x^2 + y^2, PB^2 = (x-ell)^2 + y^2, PC^2 = (x-ell)^2 + (y-ell)^2, PD^2 = x^2 + (y-ell)^2
Somando, obtemos
K = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 = 4l(x^2 + y^2 - ell(x+y) + ell^2r)

Passo 4

Para achar o mínimo de K, derivamos em relação a x e y e igualamos a zero:
partial Kpartial x = 4(2x - ell) = 0 Rightarrow x = ell2,
partial Kpartial y = 4(2y - ell) = 0 Rightarrow y = ell2
Logo, o ponto que minimiza é o centro do quadrado.

Passo 5

Basta agora calcular K em P(tfracell2,tfracell2):
PA^2 = PB^2 = PC^2 = PD^2 = l(ell2r)^2 + l(ell2r)^2 = ell^22,
Então
Kmin = 4times ell^22 = 2ell^2

Resposta

O valor mínimo de K é 2\ell^2, e ocorre quando P é o centro do quadrado (coordenadas (\ell/2,\ell/2)).

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