Seja ABCD um quadrado de lado
. Sabendo-se que
é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto
do plano definido por ABCD aos vértices de ABCD , determine:
O valor mínimo de
e a posição na qual ocorre este mínimo;
O valor mínimo de
Passo 1
O enunciado pede o valor mínimo de
K, que é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P arbitrário aos vértices de um quadrado ABCD de lado , e também a posição de P onde esse mínimo ocorre. Vamos usar conceitos de geometria analítica e funções quadráticas para resolver.
K, que é a soma dos quadrados das distâncias de um ponto P arbitrário aos vértices de um quadrado ABCD de lado
Passo 2
Para facilitar, colocamos o quadrado num sistema de coordenadas cartesianas. Seja
e P tenha coordenadas
.
Passo 3
Cada termo de
é
Somando, obtemos
Passo 4
Para achar o mínimo de
, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero:
Logo, o ponto que minimiza é o centro do quadrado.
Passo 5
Basta agora calcular
em
:
Então
Resposta
O valor mínimo de K é 2\ell^2, e ocorre quando P é o centro do quadrado (coordenadas (\ell/2,\ell/2)).