Seja S a parte do plano z=x interior ao elipsoide 3 x^2+y^2+z^2=1, orientada de modo que n cdot k>0. Seja F=(1-4 x^2-3 y^2, e^2+y-2 x, 2). O valor da integral integral duplaS F cdot n d S é:
Escolha uma opção:
. 2 pi
0 -pi
00
  • -2 pi
    10 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado fala sobre calcular a integral de uma função vetorial F sobre uma parte específica de um plano z = x que está dentro de um elipsoide dado. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e normal de superfícies. Basicamente, vamos encontrar como a função F “interage” com a superfície S.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a superfície S onde vamos calcular a integral. Ela é a parte do plano z = x que está dentro do elipsoide 3x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 3

Vamos substituir z = x na equação do elipsoide para encontrar os limites da nossa região de integração:
3x^2 + y^2 + x^2 = 1 Rightarrow 4x^2 + y^2 = 1
Então, a projeção da superfície S no plano xy é uma elipse dada por 4x^2 + y^2 = 1.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano z = x, podemos escrever uma parametrização simples. A normal ao plano z = x é dada pelos coeficientes dos termos x, y, e z na equação do plano. Reescrevendo z - x = 0, o vetor normal não normalizado é (-1, 0, 1). Queremos que n cdot k > 0, onde k = (0, 0, 1), então escolhemos n = (-1, 0, 1).

Passo 5

A área diferencial dS em termos de dx e dy para o plano z = x é dada por:
dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + (1)^2 , dx , dy = raiz2 , dx , dy
Mas como já temos a normal n, podemos simplificar o cálculo usando a fórmula da integral de superfície:
integral duplaS F cdot n , dS = integral duplaD F cdot n , dA|nz|
onde D é a projeção de S no plano xy.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar F cdot n:
F = (1 - 4x^2 - 3y^2, e^2 + y - 2x, 2)
n = (-1, 0, 1)
F cdot n = (-1)(1 - 4x^2 - 3y^2) + 0(e^2 + y - 2x) + 1(2) = -1 + 4x^2 + 3y^2 + 2 = 4x^2 + 3y^2 + 1

Passo 7

A integral agora fica:
integral duplaD (4x^2 + 3y^2 + 1) , raiz21 , dx , dy = raiz2 integral duplaD (4x^2 + 3y^2 + 1) , dx , dy
Mas para simplificar, como estamos integrando sobre uma elipse, podemos usar coordenadas elípticas. A equação 4x^2 + y^2 = 1 sugere a substituição x = r2costheta e y = rsintheta, onde r varia de 0 a 1 e theta de 0 a 2pi.

Passo 8

Calculando a integral em coordenadas elípticas:
4x^2 = 4(r2costheta)^2 = r^2cos^2theta
3y^2 = 3(rsintheta)^2 = 3r^2sin^2theta
4x^2 + 3y^2 + 1 = r^2cos^2theta + 3r^2sin^2theta + 1 = r^2(cos^2theta + 3sin^2theta) + 1
O Jacobiano da transformação é 12r.

Passo 9

Integrando:
raiz2 integral0^2pi integral0^1 [r^2(cos^2theta + 3sin^2theta) + 1] cdot r2 , dr , dtheta
Simplificando:
raiz22 integral0^2pi integral0^1 [r^3(cos^2theta + 3sin^2theta) + r] , dr , dtheta
Integrando em r:
raiz22 integral0^2pi [r^44(cos^2theta + 3sin^2theta) + r^22]0^1 , dtheta = raiz22 integral0^2pi (cos^2theta + 3sin^2theta4 + 12) , dtheta
Simplificando os termos dentro da integral:
raiz22 integral0^2pi (cos^2theta + 3sin^2theta + 24) , dtheta = raiz28 integral0^2pi (cos^2theta + 3sin^2theta + 2) , dtheta

Passo 10

Integrando termo a termo:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
integral0^2pi sin^2theta , dtheta = pi
integral0^2pi 2 , dtheta = 4pi
Substituindo:
raiz28 (pi + 3pi + 4pi) = raiz28 cdot 8pi = raiz2 cdot pi

Resposta

O valor da integral integral duplaS F cdot n d S é raiz2 , pi .

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