Seja
a parte do plano
interior ao elipsoide
, orientada de modo que
. Seja
. O valor da integral
é:
Escolha uma opção:
.
0
00
-
Escolha uma opção:
.
0
00
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado fala sobre calcular a integral de uma função vetorial
sobre uma parte específica de um plano
que está dentro de um elipsoide dado. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como integrais de superfície e normal de superfícies. Basicamente, vamos encontrar como a função
“interage” com a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície
onde vamos calcular a integral. Ela é a parte do plano
que está dentro do elipsoide
.
Passo 3
Vamos substituir
na equação do elipsoide para encontrar os limites da nossa região de integração:
Então, a projeção da superfície
no plano
é uma elipse dada por
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
à superfície
. Como
está no plano
, podemos escrever uma parametrização simples. A normal ao plano
é dada pelos coeficientes dos termos
,
, e
na equação do plano. Reescrevendo
, o vetor normal não normalizado é
. Queremos que
, onde
, então escolhemos
.
Passo 5
A área diferencial
em termos de
e
para o plano
é dada por:
Mas como já temos a normal
, podemos simplificar o cálculo usando a fórmula da integral de superfície:
onde
é a projeção de
no plano
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
A integral agora fica:
Mas para simplificar, como estamos integrando sobre uma elipse, podemos usar coordenadas elípticas. A equação
sugere a substituição
e
, onde
varia de 0 a 1 e
de 0 a
.
Passo 8
Calculando a integral em coordenadas elípticas:
O Jacobiano da transformação é
.
Passo 9
Integrando:
Simplificando:
Integrando em
:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 10
Integrando termo a termo:
Substituindo:
Resposta
O valor da integral
é
.