Seja f(x)=2 x^4-3 x^3-5 x^2+6 x-10. Achar varphi(x)=12[f(x)+f(-x)] in psi(x)=12[f(x)-f(-x)].

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2x^4-3x^3-5x^2+6x-10
e pede para obter a parte par
varphi(x)=tfrac12l[f(x)+f(-x)r]
e a parte ímpar
psi(x)=tfrac12l[f(x)-f(-x)r].
O conteúdo é a decomposição de qualquer função em soma de uma função par e uma ímpar.

Passo 2

Calculamos primeiro f(-x). Substituindo x por -x em f, temos
f(-x) =2(-x)^4-3(-x)^3-5(-x)^2+6(-x)-10 =2x^4+3x^3-5x^2-6x-10

Passo 3

Agora obtemos a parte par
varphi(x) =tfrac12l[f(x)+f(-x)r] =tfrac12l[(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10)+(2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)r]
Somando termo a termo surge
f(x)+f(-x)=4x^4-10x^2-20,
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varphi(x)=tfrac12l(4x^4-10x^2-20r)=2x^4-5x^2-10

Passo 4

Em seguida obtemos a parte ímpar
psi(x) =tfrac12l[f(x)-f(-x)r] =tfrac12l[(2x^4-3x^3-5x^2+6x-10)-(2x^4+3x^3-5x^2-6x-10)r]
Subtraindo termo a termo fica
f(x)-f(-x)=-6x^3+12x,
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psi(x)=tfrac12l(-6x^3+12xr)=-3x^3+6x

Resposta

varphi(x)=2x^4-5x^2-10
psi(x)=-3x^3+6x

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