Seja E. Calcular a dimensão de .

Passo 1

O espaço E é gerado pelos polinômios p1 = x^2 - 2x + 1, p2 = x^3, p3 = x - 1 e p4 = x(2x^2 + x - 1). Vamos usar teoria de combinação linear e independência para achar a dimensão.

Passo 2

Primeiro, escrevemos p4 de forma explícita:
p4 = x,(2x^2 + x - 1) = 2x^3 + x^2 - x

Passo 3

Em seguida, verificamos se p4 pode ser escrito como combinação de p1, p2, p3. Buscamos escalar a,b,c tais que
a,(x^2 - 2x + 1) + b,x^3 + c,(x - 1) = 2x^3 + x^2 - x

Passo 4

Igualando coeficientes de cada potência de x, obtemos o sistema
b = 2, a = 1, -2a + c = -1, a - c = 0

Passo 5

Daí vem a=1, b=2, c=1, o que mostra
p4 = 1,p1 + 2,p2 + 1,p3

Passo 6

Portanto, p4 é dependente de p1,p2,p3, e só precisamos checar se estes três são independentes.

Passo 7

Para ver que p1,p2,p3 são independentes, colocamos
alpha,p1 + beta,p2 + gamma,p3 = 0
isto é,
alpha(x^2 - 2x +1) + beta x^3 + gamma(x -1) equiv 0

Passo 8

Igualando coeficientes, obtemos o sistema
beta = 0, alpha = 0, -2alpha + gamma = 0, alpha - gamma =0,

Passo 9

cuja única solução é alpha=beta=gamma=0. Logo são independentes.

Passo 10

Então há exatamente 3 vetores independentes em E, logo dim(E)=3

Resposta

3

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