Seja
. Calcular a dimensão de
.
Passo 1
O espaço E é gerado pelos polinômios
,
,
e
. Vamos usar teoria de combinação linear e independência para achar a dimensão.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
de forma explícita:
Passo 3
Em seguida, verificamos se
pode ser escrito como combinação de
. Buscamos escalar
tais que
Passo 4
Igualando coeficientes de cada potência de
, obtemos o sistema
Passo 5
Daí vem
a=1 ,
b=2 ,
c=1 , o que mostra
Passo 6
Portanto,
p4 é dependente de
p1,p2,p3 , e só precisamos checar se estes três são independentes.
Passo 7
Para ver que
p1,p2,p3 são independentes, colocamos
isto é,
Passo 8
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Passo 9
cuja única solução é
alpha=beta=gamma=0 . Logo são independentes.
Passo 10
Então há exatamente 3 vetores independentes em E, logo
dim(E)=3
Resposta
3