Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e sejam
e
dois subespaços vetoriais de
tais que
Provar que
.
Passo 1
Resumo do problema: Temos um espaço vetorial E de dimensão finita e dois subespaços F e G tais que
. O conteúdo é Álgebra Linear (dimensão de subespaços) e vamos usar a fórmula da dimensão da soma de subespaços (fórmula de Grassmann).
Passo 2
Para quaisquer subespaços F e G de E, a fórmula de Grassmann afirma que
Essa relação conecta a dimensão da soma com a da interseção.
Passo 3
Como
é um subespaço de E, vale
Substituindo a fórmula de Grassmann, obtemos
e, ao isolar
, chega-se a
Passo 4
Pela hipótese temos
, o que implica
Logo, a dimensão de
é pelo menos 1, ou seja, existe um vetor não nulo nessa interseção. Portanto,
.
Resposta
F \cap G \neq {0}