Seja E um espaço vetorial de dimensão finita e sejam F e G dois subespaços vetoriais de E tais que
dim(F)+dim(G)>dim(E)
Provar que F cap G neq0.

Passo 1

Resumo do problema: Temos um espaço vetorial E de dimensão finita e dois subespaços F e G tais que dim F + dim G > dim E. O conteúdo é Álgebra Linear (dimensão de subespaços) e vamos usar a fórmula da dimensão da soma de subespaços (fórmula de Grassmann).

Passo 2

Para quaisquer subespaços F e G de E, a fórmula de Grassmann afirma que
dim(F + G) = dim F + dim G - dim(F cap G)
Essa relação conecta a dimensão da soma com a da interseção.

Passo 3

Como F + G é um subespaço de E, vale
dim(F + G) <= dim E
Substituindo a fórmula de Grassmann, obtemos
dim F + dim G - dim(F cap G) <= dim E
e, ao isolar dim(F cap G), chega-se a
dim(F cap G) >= dim F + dim G - dim E

Passo 4

Pela hipótese temos dim F + dim G > dim E, o que implica
dim(F cap G) > 0
Logo, a dimensão de F cap G é pelo menos 1, ou seja, existe um vetor não nulo nessa interseção. Portanto, F cap G neq 0.

Resposta

F \cap G \neq {0}

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