Seja beta=(1,1,0),(1,0,-1),(0,1,0). Ache uma base ortonormal beta^prime de R^3, em relação ao produto interno usual.

Passo 1

O enunciado dá a base beta=v1,v2,v3 de R^3, onde
v1=(1,1,0), v2=(1,0,-1), v3=(0,1,0),
e pede uma base ortonormal beta' para o produto interno usual. Vamos usar o processo de Gram–Schmidt para construir vetores ortogonais u1,u2,u3 e depois normalizá-los para obter beta'=e1,e2,e3.

Passo 2

Definimos
u1=v1=(1,1,0)
O primeiro vetor ortonormal é
e1=u1|u1| com |u1|=raizlang<= u1,u1rang<= =raiz1^2+1^2+0^2=raiz2
Assim
e1=1raiz2(1,1,0)

Passo 3

Subtraímos de v2 a componente na direção de u1:
proju1(v2) =lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 =(1,0,-1)cdot(1,1,0)2,(1,1,0) =12(1,1,0)
Logo
u2=v2-proju1(v2) =(1,0,-1)-l(tfrac12,tfrac12,0r) =l(tfrac12,-tfrac12,-1r)
Calculamos a norma de u2:
|u2|=raizl(tfrac12r)^2+l(-tfrac12r)^2+(-1)^2 =raiztfrac14+tfrac14+1 =raiztfrac32 =raiz62
E o segundo vetor ortonormal é
e2=u2|u2| =1raiztfrac32 l(tfrac12,-tfrac12,-1r) =1raiz6(1,-1,-2)

Passo 4

Agora projetamos v3 em u1 e u2:
proju1(v3) =lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 =(0,1,0)cdot(1,1,0)2(1,1,0) =tfrac12(1,1,0),
proju2(v3) =lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=u2 =(0,1,0)cdot(tfrac12,-tfrac12,-1)tfrac32 ,u2 =-tfrac12tfrac32,u2 =-tfrac13(tfrac12,-tfrac12,-1) =l(-tfrac16,tfrac16,tfrac13r)
Então
u3 =v3-proju1(v3)-proju2(v3) =(0,1,0)-l(tfrac12,tfrac12,0r)-l(-tfrac16,tfrac16,tfrac13r) =l(-tfrac13,tfrac13,-tfrac13r)
A norma de u3 é
|u3| =raiz3l(-tfrac13r)^2 =raiztfrac13 =1raiz3
Portanto o terceiro vetor ortonormal é
e3=u3|u3| =raiz3,l(-tfrac13,tfrac13,-tfrac13r) =1raiz3(-1,1,-1)

Resposta

Uma base ortonormal beta'=e1,e2,e3 é
e1=1raiz2(1,1,0), e2=1raiz6(1,-1,-2), e3=1raiz3(-1,1,-1)

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