Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) com produto interno canônico.
Se v=(2,-1,5) e w=(3,0,1), verifique que lang<= T v, wrang<==lang<= v, T wrang<=.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(y+z,;x+z,;x+y)
e pede para verificar, usando o produto interno canônico (ou seja, o produto escalar usual em R^3), que
lang<= T v, wrang<= ;=;lang<= v, T wrang<=
para v=(2,-1,5) e w=(3,0,1).
O que vamos precisar: calcular T(v), T(w) e então os produtos escalares lang<= T(v),wrang<= e lang<= v,T(w)rang<=.

Passo 2

Calculemos as imagens de v e w por T.
Para v=(2,-1,5):
T(v)=T(2,-1,5) =(y+z,;x+z,;x+y) =(-1+5,;2+5,;2+(-1)) =(4,;7,;1)
Para w=(3,0,1):
T(w)=T(3,0,1) =(0+1,;3+1,;3+0) =(1,;4,;3)

Passo 3

Agora calculamos os dois produtos escalares:
lang<= T(v),wrang<= =(4,7,1)cdot(3,0,1) =4cdot3+7cdot0+1cdot1 =12+0+1 =13,
lang<= v,T(w)rang<= =(2,-1,5)cdot(1,4,3) =2cdot1+(-1)cdot4+5cdot3 =2-4+15 =13

Passo 4

Como ambas as expressões deram 13, concluímos que
lang<= T v, wrang<= ;=;lang<= v, T wrang<=

Resposta

lang<= T v, wrang<= = lang<= v, T wrang<= = 13.

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