Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x+y, x+z,-y+z) e seja W=K e r T, ou seja, o núcleo de T. Encontre uma base ortonormal para W^perp.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear TcolonR^3toR^3 dada por
T(x,y,z)=(x+y,;x+z,;-y+z)
e pede uma base ortonormal de W^perp, onde W=ker T.
Como estamos em R^3 com o produto interno usual, vale o fato de que
W^perp=(ker T)^perp=row space(A),
onde A é a matriz de T. Para obter uma base ortonormal de W^perp basta portanto extrair uma base da linha de A e aplicar o processo de Gram–Schmidt.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T no referencial canônico:
A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & -1 & 1
As linhas de A são os vetores
r1=(1,1,0),
r2=(1,0,1),
r3=(0,-1,1).

Passo 3

Verificamos que r1 e r2 já são linearmente independentes (posto de A é 2), logo
r1,r2
é uma base de row space(A)=W^perp.

Passo 4

Aplicamos Gram–Schmidt em r1 e r2. Primeiro,
u1=r1=(1,1,0), |u1|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2,
e definimos
e1=u1|u1| =l(tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2,;0r)

Passo 5

Agora projetamos r2 sobre u1 e tiramos a componente paralela:
proju1(r2) =r2cdotu1|u1|^2,u1 =1cdot1+0cdot1+1cdot02,(1,1,0) =tfrac12,(1,1,0)
Logo
u2 =r2-proju1(r2) =(1,0,1)-(tfrac12,tfrac12,0) =(tfrac12,,-tfrac12,,1),
com norma
|u2|=raiztfrac14+tfrac14+1=raiztfrac32=tfracraiz62.
Assim
e2 =u2|u2| =(tfrac12,-tfrac12,1)tfracraiz62 =l(tfrac1raiz6,;-tfrac1raiz6,;tfrac2raiz6r)

Resposta

Uma base ortonormal de W^perp é
l,(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0),; (tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6,tfrac2raiz6)r

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