Seja
dada por
e seja
, ou seja, o núcleo de
. Encontre uma base ortonormal para
.
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
dada por
e pede uma base ortonormal de
, onde
.
Como estamos em com o produto interno usual, vale o fato de que
Como estamos em
onde
é a matriz de
. Para obter uma base ortonormal de
basta portanto extrair uma base da linha de
e aplicar o processo de Gram–Schmidt.
Passo 2
Escrevemos a matriz de
no referencial canônico:
As linhas de
A são os vetores
r1=(1,1,0) ,
r2=(1,0,1) ,
r3=(0,-1,1) .
Passo 3
Verificamos que
r1 e
r2 já são linearmente independentes (posto de
A é 2), logo
r1,r2
é uma base derow space(A)=W^perp .
é uma base de
Passo 4
Aplicamos Gram–Schmidt em
r1 e
r2 . Primeiro,
e definimos
Passo 5
Agora projetamos
r2 sobre
u1 e tiramos a componente paralela:
Logo
com norma
|u2|=raiztfrac14+tfrac14+1=raiztfrac32=tfracraiz62 .
Assim
Assim
Resposta
Uma base ortonormal de
W^perp é