Seja M(2 x 2) o espaço das matrizes quadradas de ordem dois. Definimos em M(2 times 2) o produto interno dado por:
lang<=[lla & b c & d],[lle & f g & h]rang<==a e+b f+c g+d h.
Mostre que esta operação é realmente um produto interno e calcule o ângulo entre as matrizes [cc1 & -1 1 & 1] e [ll1 & 1 1 & 1].

Passo 1

O enunciado define em M(2times2) o produto interno
llang<= a & b c & d,,e & f g & hrrang<= =ae + bf + cg + dh
e pede dois itens: (i) mostrar que isso satisfaz as três propriedades de um produto interno (bilinearidade, simetria e positividade definida) e (ii) calcular o ângulo entre
A = 1 & -1 1 & 1 e B = 1 & 1 1 & 1

Passo 2

Verificamos a bilinearidade em cada argumento. Sejam X,Y,ZinM(2times2) e alphainR. Por definição do somatório de entradas:
lang<= X+Y,,Zrang<= =sumi,j(X+Y)ijZij =sumi,jXijZij+sumi,jYijZij =lang<= X,Zrang<=+lang<= Y,Zrang<=
e
lang<= alpha X,,Yrang<= =sumi,j(alpha Xij)Yij =alphasumi,jXijYij =alphalang<= X,Yrang<=
Analogamente se prova linearidade no segundo argumento.

Passo 3

Verificamos a simetria. Para quaisquer X,Y vale
lang<= X,Yrang<= =sumi,jXijYij =sumi,jYijXij =lang<= Y,Xrang<=,
pela comutatividade da multiplicação em R.

Passo 4

Verificamos positividade definida. Escrevendo X=a&b c&d, temos
lang<= X,Xrang<= =a^2+b^2+c^2+d^2>=0
Além disso, lang<= X,Xrang<==0 se e somente se a=b=c=d=0, ou seja, X é a matriz nula.

Passo 5

Calculamos agora lang<= A,Brang<= e as normas. Temos
A = 1 & -1 1 & 1, B = 1 & 1 1 & 1,
lang<= A,Brang<= =1cdot1 + (-1)cdot1 + 1cdot1 + 1cdot1 =2,
|A|=raizlang<= A,Arang<= =raiz1^2+(-1)^2+1^2+1^2 =raiz4=2, |B|=raizlang<= B,Brang<= =raiz1^2+1^2+1^2+1^2 =raiz4=2

Passo 6

O cosseno do ângulo theta entre A e B é
cos(theta) =lang<= A,Brang<=|A|;|B| =22cdot2 =tfrac12
Logo
theta = arccos!l(tfrac12r) = pi3

Resposta

O produto lang<=cdot,cdotrang<= em M(2times2) satisfaz bilinearidade, simetria e positividade definida, e o ângulo entre as matrizes é
theta = pi3(60^circ)

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