Seja
o conjunto dos pares ordenados
de números reais com a adição em
e a multiplicação em
definidos por:
-
-
.
Mostre que
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto o seguinte
Mostre que
Passo 1
Resumo do enunciado e do que precisamos mostrar
O conjunto é
O conjunto é
com operações definidas por
Queremos checar todos os axiomas de espaço vetorial sobre
– isto é, as propriedades de grupo abeliano para a adição e as quatro propriedades que envolvem a multiplicação por escalar – e ver que todas valem, exceto a identidade escalar
Passo 2
Verificação dos axiomas de grupo abeliano sob adição
- Fechamento: se
e estão em , então
também está em
.
2. Comutatividade:
2. Comutatividade:
- Associatividade:
e
logo coincidem.
4. Elemento neutro: satisfaz
4. Elemento neutro:
- Inverso aditivo: para
, o inverso é pois
Passo 3
Verificação das propriedades de multiplicação por escalar (exceto a identidade)
6. Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
6. Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
e por outro lado
Portanto coincide.
7. Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
7. Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
- Associatividade de escalares:
Passo 4
Falha do axioma de identidade escalar
O axioma exige que
O axioma exige que
para todo
. Mas por definição
o que só coincide com
quando
. Para um vetor genérico
com
, temos
Resposta
O único axioma que não é satisfeito em
é o de identidade escalar