Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais com a adição em V e a multiplicação em V definidos por:
  • (a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) ;
  • k(a, b)=(k a, 0).
    Mostre que V satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto o seguinte
1 u=u

Passo 1

Resumo do enunciado e do que precisamos mostrar
O conjunto é
V = (a,b)mid a,binR,
com operações definidas por
(a,b)+(c,d) = (a+c,;b+d),
k,(a,b) = (k,a,;0)
Queremos checar todos os axiomas de espaço vetorial sobre R – isto é, as propriedades de grupo abeliano para a adição e as quatro propriedades que envolvem a multiplicação por escalar – e ver que todas valem, exceto a identidade escalar
1,(a,b) = (a,b)

Passo 2

Verificação dos axiomas de grupo abeliano sob adição
  1. Fechamento: se (a,b) e (c,d) estão em V, então
(a,b)+(c,d)=(a+c,;b+d)
também está em V.
2. Comutatividade:
(a,b)+(c,d) = (a+c,;b+d) = (c+a,;d+b) = (c,d)+(a,b)
  1. Associatividade:
l((a,b)+(c,d)r)+(e,f) = (a+c,;b+d)+(e,f) = (a+c+e,;b+d+f)
e
(a,b)+l((c,d)+(e,f)r) = (a,b)+(c+e,;d+f) = (a+c+e,;b+d+f),
logo coincidem.
4. Elemento neutro: (0,0) satisfaz
(a,b)+(0,0)=(a+0,;b+0)=(a,b)
  1. Inverso aditivo: para (a,b), o inverso é (-a,-b) pois
(a,b)+(-a,-b)=(0,0)

Passo 3

Verificação das propriedades de multiplicação por escalar (exceto a identidade)
6. Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
kl((a,b)+(c,d)r) = k,(a+c,;b+d) = l(k(a+c),;0r) = (ka+kc,;0)
e por outro lado
k,(a,b)+k,(c,d) = (ka,;0)+(kc,;0) = (ka+kc,;0)
Portanto coincide.
7. Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
(k+l),(a,b) = l((k+l)a,;0r) = (ka+la,;0) = (ka,;0)+(la,;0) = k,(a,b)+l,(a,b)
  1. Associatividade de escalares:
kl(l,(a,b)r) = k,(la,;0) = l(k,la,;0r) = l((kl)a,;0r) = (kl),(a,b)

Passo 4

Falha do axioma de identidade escalar
O axioma exige que
1,(a,b) = (a,b)
para todo (a,b)in V. Mas por definição
1,(a,b) = (1cdot a,;0) = (a,;0),
o que só coincide com (a,b) quando b=0. Para um vetor genérico (a,b) com bneq0, temos
1,(a,b) = (a,0)neq(a,b)

Resposta

O único axioma que não é satisfeito em V é o de identidade escalar
1,u = u

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