Seja A=(ai j) uma matriz n times n com entradas ai j in R. Avalie as seguintes afirmativas: Suponha que ai j=0 quando i+j for par e ai j=1 quando i+j for ímpar. Se n >= 3, então det(A)=0.

Passo 1

O enunciado define uma matriz A=(aij) de ordem n com
aij=0 se i+j for par, e
aij=1 se i+j for ímpar.
Queremos avaliar se, para n>=3, det(A)=0. O conteúdo usado será dependência linear de linhas e a propriedade de que matrizes com duas linhas iguais têm determinante zero.

Passo 2

Note que, para cada linha i:
  • Se i é ímpar, então i+j é par quando j é ímpar e ímpar quando j é par. Logo a linha i vale
Límpar = (0,1,0,1,dots) í
  • Se i é par, o padrão inverte e a linha i vale
Lpar = (1,0,1,0,dots)

Passo 3

Para n>=3 há pelo menos três linhas, e como só existem dois padrões ( Límparí e Lpar), pelo menos duas linhas coincidem. Matrizes que têm duas linhas iguais possuem determinante zero. Logo det(A)=0.

Resposta

A afirmativa é verdadeira: para n>=3, det(A)=0.

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