Sejam e B=[ccck & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 0 & k]. Julgue as afirmativas abaixo em V (verdadeiro) ou F (falso) e justifique sua resposta: Se k neq 0 e k neq 1, então o sistema A x=b tem solução única, em que x=(x1, x2, x3)^t e b=(b1, b2, b3)^t.
Passo 1
O enunciado apresenta a matriz
A = k & 0 & 0 0 & -1 & 1 1 & 1 & k
e afirma que, se k neq 0 e k neq 1, então o sistema A x = b tem solução única. Para que um sistema linear A x = b tenha solução única é necessário e suficiente que A seja invertível, isto é, que det(A)neq 0.
Passo 2
Vamos calcular o determinante de A usando expansão pela primeira linha, já que ela tem zeros que facilitam:
det(A) = k cdot det-1 & 1 1 & k -0 + 0
Passo 3
Agora computamos o determinante do menor 2 times 2:
det-1 & 1 1 & k = (-1) cdot k - 1 cdot 1 = -k - 1
Logo
det(A) = k ,( -k - 1) = -,k,(k + 1)
Passo 4
Para A ser invertível precisamos de
det(A)neq 0 Long<=ftrightarrow -,k,(k + 1)neq 0 Long<=ftrightarrow kneq 0 e k + 1neq 0 ;l(ie kneq -1r)
Passo 5
O enunciado exige kneq 0 e kneq 1, mas essa condição não impede k = -1. Quando k = -1 temos det(A)=0, de modo que A deixa de ser invertível e o sistema não tem solução única.
Resposta
F ,l(falso: o correto seria exigir kneq 0 e kneq -1, não kneq 1.