Seja A=(ai j) uma matriz real n times n. Considere o sistema A x=b abaixo e julgue as afirmativas: Se u=(u1, u2, cdots, un)^t e v=(v1, v2, cdots, vn)^t são soluções do sistema A x=b, então u+v também é solução de A x=b.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear inhomogêneo A x=b, com A uma matriz real ntimes n. As soluções de um sistema inhomogêneo não obedecem ao princípio da superposição (que vale só para o sistema homogêneo A x=0). Vamos usar a definição de solução para ver se a soma de duas soluções de A x=b é novamente solução de A x=b.

Passo 2

Como u e v são soluções de A x=b, por definição temos
A,u = b
e
A,v = b

Passo 3

Agora aplicamos A à soma u+v. Usando a linearidade de A (isto é, A(u+v)=Au+Av), obtemos
A(u+v) ;=; Au + Av ;=; b + b ;=; 2b
Para que u+v fosse solução de A x=b precisaríamos de A(u+v)=b, mas aqui ,A(u+v)=2bneq b em geral (a menos que b=0).

Passo 4

Concluímos que, no caso inhomogêneo, a soma de duas soluções não é em geral solução do mesmo sistema. Logo, a afirmativa é falsa.

Resposta

A afirmativa é falsa.

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