Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n . O traço de A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos da diagonal principal de A , isto é, tr(A)=a11+a22+ldots+ann. Dadas as matrizes A=(ccc1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7) e B=(ccc0 & -2 & 2 -1 & 5 & 4 3 & -1 & 7), verifique que: tr(A cdot B)=tr(B cdot A)

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz quadrada de ordem como
e pede para verificar, com as matrizes
que
Para isso, vamos calcular explicitamente e e comparar seus traços.

Passo 2

Para multiplicar A por B, usamos a regra
(AB)ij=sumk=1^3 aikbkj. Fazendo os cálculos elemento a elemento, obtemos
AB= 1cdot0+3cdot(-1)+6cdot3 & 1cdot(-2)+3cdot5+6cdot(-1) & 1cdot2+3cdot4+6cdot7 2cdot0+(-5)cdot(-1)+8cdot3 & 2cdot(-2)+(-5)cdot5+8cdot(-1) & 2cdot2+(-5)cdot4+8cdot7 4cdot0+(-2)cdot(-1)+7cdot3 & 4cdot(-2)+(-2)cdot5+7cdot(-1) & 4cdot2+(-2)cdot4+7cdot7 = 15 & 7 & 56 29 & -37 & 40 23 & -25 & 49

Passo 3

O traço de é a soma dos elementos da sua diagonal principal, logo

Passo 4

Agora multiplicamos B por A usando a mesma regra:
BA= 0cdot1+(-2)cdot2+2cdot4 & 0cdot3+(-2)cdot(-5)+2cdot(-2) & 0cdot6+(-2)cdot8+2cdot7 (-1)cdot1+5cdot2+4cdot4 & (-1)cdot3+5cdot(-5)+4cdot(-2) & (-1)cdot6+5cdot8+4cdot7 3cdot1+(-1)cdot2+7cdot4 & 3cdot3+(-1)cdot(-5)+7cdot(-2) & 3cdot6+(-1)cdot8+7cdot7 = 4 & 6 & -2 25 & -36 & 62 29 & 0 & 59

Passo 5

O traço de é

Resposta

Como e , concluímos que

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