Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definem-se como segue as potências de A: A^0=I, onde I é a matriz identidade de ordem n A^1=A, A^n=A^n-1 cdot A, para todo natural n >= 2. Diremos que uma matriz é idempotente se A^2=A. Verifique que A=(rrr2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3) é idempotente e calcule seu determinante.

Passo 1

O enunciado define a matriz
A = 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3
e pede para verificar que A é idempotente, ou seja, que
A^2 = A,
e também calcular det(A). Para isso, usaremos multiplicação de matrizes para a idempotência e a regra de Laplace (expansão pela primeira linha) para o determinante.

Passo 2

Vamos calcular
A^2 = A cdot A
Fazendo o produto linha-por-coluna, obtemos
A^2 = 2cdot 2 + (-2)cdot (-1) + (-4)cdot 1 & 2cdot (-2) + (-2)cdot 3 + (-4)cdot (-2) & 2cdot (-4) + (-2)cdot 4 + (-4)cdot (-3)[6pt] (-1)cdot 2 + 3cdot (-1) + 4cdot 1 & (-1)cdot (-2) + 3cdot 3 + 4cdot (-2) & (-1)cdot (-4) + 3cdot 4 + 4cdot (-3)[6pt] 1cdot 2 + (-2)cdot (-1) + (-3)cdot 1 & 1cdot (-2) + (-2)cdot 3 + (-3)cdot (-2) & 1cdot (-4) + (-2)cdot 4 + (-3)cdot (-3)
Calculando cada entrada, vemos que
A^2 = 2 & -2 & -4 -1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 = A,
logo A é idempotente.]

Passo 3

Para det(A), usamos expansão pela primeira linha:
det(A) =2det3 & 4-2 & -3 -(-2)det-1 & 41 & -3 +(-4)det-1 & 31 & -2
Agora
det3 & 4-2 & -3 =3cdot(-3)-4cdot(-2)=-9+8=-1,
det-1 & 41 & -3 =(-1)cdot(-3)-4cdot1=3-4=-1,
det-1 & 31 & -2 =(-1)cdot(-2)-3cdot1=2-3=-1
Substituindo,
det(A)=2cdot(-1)-(-2)cdot(-1)+(-4)cdot(-1) =-2 -2 +4 =0

Resposta

A^2 = A e det(A) = 0.

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