Suponha que C satisfaça as condições do Teorema de Stokes e f, g sejam funções com derivadas parciais continuas de segunda ordem. Mostre que
integralC(f nabla g) cdot d r=integralegral duplaS(nabla f times nabla g) cdot d S;

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva fechada C, limite orientado positivamente de uma superfície S, e duas funções escalares f e g com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Queremos provar que
ointCl(f,nabla gr)cdot d r ;=;integral duplaSl(nabla ftimesnabla gr)cdot d S
Para isso, vamos aplicar o Teorema de Stokes a um campo vetorial adequado.

Passo 2

Defina o campo vetorial
F ;=; f,nabla g
O Teorema de Stokes diz que
ointCFcdot d r ;=; integral duplaSl(nablatimes Fr)cdot d S
Logo basta calcular nablatimesF.

Passo 3

Usamos a identidade vetorial
nablatimesl(f,nabla gr) = nabla f times nabla g ;+; f,l(nablatimesnabla gr)
Mas como o rotor de um gradiente é sempre nulo, isto é, nablatimes(nabla g)=0, fica
nablatimesF = nabla f times nabla g

Passo 4

Substituindo no Teorema de Stokes obtemos
ointC(f,nabla g)cdot dr = integral duplaS(nabla ftimesnabla g)cdot dS,
que é exatamente a identidade que se queria demonstrar.

Resposta

boxedointC(f,nabla g)cdot dr = integral duplaS(nabla ftimesnabla g)cdot dS

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