Suponha que
satisfaça as condições do Teorema de Stokes e
sejam funções com derivadas parciais continuas de segunda ordem. Mostre que
;
Passo 1
O enunciado nos dá uma curva fechada
, limite orientado positivamente de uma superfície
, e duas funções escalares
e
com derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Queremos provar que
Para isso, vamos aplicar o Teorema de Stokes a um campo vetorial adequado.
Passo 2
Defina o campo vetorial
O Teorema de Stokes diz que
Logo basta calcular
.
Passo 3
Usamos a identidade vetorial
Mas como o rotor de um gradiente é sempre nulo, isto é,
, fica
Passo 4
Substituindo no Teorema de Stokes obtemos
que é exatamente a identidade que se queria demonstrar.