Seja (an)n in N uma sequência de números reais positivos. A raiz de ak é menor que r para todo k suficientemente grande. Use o teste da comparação para mostrar que, se L=lim n +infty raiz[n]an<1, então a série sumn=1^+infty an é convergente.
sumn=1^+infty n alpha^n em que alpha>0 é um real dado

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da comparação mostrando que, se L=limnto+inftyraiz[n]an<1, então sum an converge, e depois estudar a série sumn=1^infty nalpha^n com alpha>0. Vamos precisar do conceito de raiz n-ésima de an, da definição do limite, do teste da comparação simples e da convergência de séries geométricas.

Passo 2

Da definição de limite, como limnto+inftyraiz[n]an=L<1, escolhemos um número r tal que L. Então existe N tal que, para todo n>N, temos
raiz[n]an
Elevando cada lado a n-ésima potência, obtemos
$$
a_n < r^n \quadpara todon>N. an < r^n para todo n>Nééçãí\sum_{n=1}^\infty a_n$$
converge.

Passo 3

Agora consideramos a série sumn=1^infty nalpha^n. Para aplicar o teste da raiz, calculamos
raiz[n]nalpha^n = n^1/ncdotalpha
e sabemos que n^1/nto1 quando nto+infty. Logo
limnto+inftyraiz[n]nalpha^n = alpha
Pelo teste da raiz, se alpha<1 a série sum nalpha^n converge, se alpha>1 diverge. No caso alpha=1 teríamos sum n, que também diverge.

Passo 4

Portanto, concluímos os dois itens pedidos.

Resposta

A série sum an converge por comparação com a geométrica sum r^n sempre que L=limraiz[n]an<1. Já a série sumn=1^infty nalpha^n converge se e somente se 0 e diverge para alpha>=1.

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