Seja
uma sequência de números reais positivos. A raiz de
é menor que
para todo
suficientemente grande. Use o teste da comparação para mostrar que, se
, então a série
é convergente.
em que
é um real dado
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da comparação mostrando que, se
, então
converge, e depois estudar a série
com
. Vamos precisar do conceito de raiz
-ésima de
, da definição do limite, do teste da comparação simples e da convergência de séries geométricas.
Passo 2
Da definição de limite, como
, escolhemos um número
tal que
. Então existe
tal que, para todo
, temos
Elevando cada lado a
$$
a_n < r^n \quadpara todon>N.
\sum_{n=1}^\infty a_n$$
converge.
Passo 3
Agora consideramos a série
. Para aplicar o teste da raiz, calculamos
e sabemos que
Pelo teste da raiz, se
a série
converge, se
diverge. No caso
teríamos
, que também diverge.
Passo 4
Portanto, concluímos os dois itens pedidos.
Resposta
A série
converge por comparação com a geométrica
sempre que
. Já a série
converge se e somente se
e diverge para
.