Vamos verificar se o conjunto B é um subanel de A , onde A é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, utilizando as operações de adição e multiplicação de matrizes. Para isso, precisamos entender o que define um subanel e aplicar esses critérios ao conjunto B .
Passo 2
Primeiro, é importante saber que um subanel de um anel A é um subconjunto B que satisfaz três condições principais:
Não vazio: B deve conter pelo menos um elemento.
Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois elementos de B também deve estar em B .
Fechado sob multiplicação: O produto de quaisquer dois elementos de B também deve estar em B .
Vamos verificar se o conjunto B cumpre essas três condições dentro de A .
Passo 3
Primeiro, observamos que B é definido como:
B = b & b 0 & c ; b, c in R
Não vazio: Se escolhermos, por exemplo, b = 0 e c = 0 , a matriz resultante é a matriz zero:
0 & 0 0 & 0 in B
Portanto, B não é vazio.
Passo 4
Fechado sob adição: Vamos somar duas matrizes quaisquer de B :
Para que M1 cdot M2 pertença a B , a posição (1,2) deve ser igual à posição (1,1), ou seja:
b1 b2 + b1 c2 = b1 b2 Rightarrow b1 c2 = 0
Isso implica que ou b1 = 0 ou c2 = 0 . No entanto, nem sempre isso ocorre para quaisquer b1, c2 in R . Portanto, nem todo produto de elementos em B resulta em uma matriz que ainda está em B .
Resposta
Como o conjunto B não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de A .