Verifique se B é subanel de A
A=(M2(R),+, cdot) e B=(llb & b 0 & c) ; a, b, c in R.

Passo 1

Vamos verificar se o conjunto B é um subanel de A , onde A é o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais, utilizando as operações de adição e multiplicação de matrizes. Para isso, precisamos entender o que define um subanel e aplicar esses critérios ao conjunto B .

Passo 2

Primeiro, é importante saber que um subanel de um anel A é um subconjunto B que satisfaz três condições principais:
  1. Não vazio: B deve conter pelo menos um elemento.
  2. Fechado sob adição: A soma de quaisquer dois elementos de B também deve estar em B .
  3. Fechado sob multiplicação: O produto de quaisquer dois elementos de B também deve estar em B .
Vamos verificar se o conjunto B cumpre essas três condições dentro de A .

Passo 3

Primeiro, observamos que B é definido como:
B = b & b 0 & c ; b, c in R
Não vazio: Se escolhermos, por exemplo, b = 0 e c = 0 , a matriz resultante é a matriz zero:
0 & 0 0 & 0 in B
Portanto, B não é vazio.

Passo 4

Fechado sob adição: Vamos somar duas matrizes quaisquer de B :
M1 = b1 & b1 0 & c1 , M2 = b2 & b2 0 & c2
M1 + M2 = b1 + b2 & b1 + b2 0 + 0 & c1 + c2 = b1 + b2 & b1 + b2 0 & c1 + c2
A matriz resultante ainda tem a forma b & b 0 & c , onde b = b1 + b2 e c = c1 + c2 são números reais. Logo, M1 + M2 in B .

Passo 5

Fechado sob multiplicação: Agora, vamos multiplicar duas matrizes quaisquer de B :
M1 cdot M2 = b1 & b1 0 & c1 cdot b2 & b2 0 & c2 = b1 b2 + b1 cdot 0 & b1 b2 + b1 c2 0 cdot b2 + c1 cdot 0 & 0 cdot b2 + c1 c2 = b1 b2 & b1 b2 + b1 c2 0 & c1 c2
Para que M1 cdot M2 pertença a B , a posição (1,2) deve ser igual à posição (1,1), ou seja:
b1 b2 + b1 c2 = b1 b2 Rightarrow b1 c2 = 0
Isso implica que ou b1 = 0 ou c2 = 0 . No entanto, nem sempre isso ocorre para quaisquer b1, c2 in R . Portanto, nem todo produto de elementos em B resulta em uma matriz que ainda está em B .

Resposta

Como o conjunto B não é fechado sob multiplicação, ele não é um subanel de A .

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