Seja
uma matriz
. Prove que:
tem solução, para algum
se, e só se,
está no espaço gerado pelas colunas de
.
Passo 1
O enunciado afirma que, dada uma matriz
de tamanho
e um vetor
, queremos mostrar que o sistema
é compatível (tem solução) se, e somente se,
pertence ao espaço gerado pelas colunas de
.
Conteúdo envolvido: definição de combinação linear de colunas de e o conceito de espaço coluna (coluna-espaço).
Conteúdo envolvido: definição de combinação linear de colunas de
Passo 2
Prova da implicação “
”. Suponha que exista
tal que
. Escrevendo
pela coluna em colunas,
temos
Isto mostra que
é combinação linear das colunas
. Logo
está no espaço gerado por elas, ou seja,
.
Passo 3
Prova da implicação “
”. Agora suponha
. Por definição de espaço coluna, existem escalares
tais que
Seja
. Então
mostrando que
é solução do sistema
. Portanto o sistema é compatível.
Resposta
Mostramos que
tem solução se, e só se,
pode ser escrito como combinação linear das colunas de
, i.e.,
.