Seja A uma matriz m x n. Prove que:
A X=B tem solução, para algum B in R^m se, e só se, B está no espaço gerado pelas colunas de A.

Passo 1

O enunciado afirma que, dada uma matriz A de tamanho mtimes n e um vetor BinR^m, queremos mostrar que o sistema
A X = B
é compatível (tem solução) se, e somente se, B pertence ao espaço gerado pelas colunas de A.
Conteúdo envolvido: definição de combinação linear de colunas de A e o conceito de espaço coluna (coluna-espaço).

Passo 2

Prova da implicação “ Rightarrow”. Suponha que exista XinR^n tal que A X = B. Escrevendo A pela coluna em colunas,
A = l[,a1;;a2;dots;anr],
temos
A X ;=; x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an = B
Isto mostra que B é combinação linear das colunas a1,dots,an. Logo B está no espaço gerado por elas, ou seja, BinCol(A).

Passo 3

Prova da implicação “ Leftarrow”. Agora suponha BinCol(A). Por definição de espaço coluna, existem escalares x1,dots,xn tais que
B = x1,a1 + x2,a2 + cdots + xn,an
Seja X = (x1,dots,xn)^T. Então
A X = x1,a1 + cdots + xn,an = B,
mostrando que X é solução do sistema AX=B. Portanto o sistema é compatível.

Resposta

Mostramos que AX=B tem solução se, e só se, B pode ser escrito como combinação linear das colunas de A, i.e., BinCol(A).

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