Seja T: R^3 R^3 uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, z).
Determine o núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo da aplicação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (,x+y+z,;2y+z,;z,)
Para encontrar o núcleo (ou kernel) de T, vamos usar que
ker T = (x,y,z)inR^3 mid T(x,y,z) = (0,0,0),
isto é, resolver o sistema homogêneo T(x,y,z)=(0,0,0).

Passo 2

Escrevendo a condição T(x,y,z)=(0,0,0) obtemos o sistema linear
x + y + z = 0, 2y + z = 0, z = 0

Passo 3

Da terceira equação segue imediatamente
z = 0
Substituindo em 2y + z = 0
2y = 0Longrightarrow y = 0
Por fim, usando y=0 e z=0 na primeira equação
x + 0 + 0 = 0Longrightarrow x = 0

Passo 4

O único vetor que satisfaz todas as equações é (x,y,z)=(0,0,0). Logo o núcleo de T é trivial.

Resposta

ker T = (0,0,0).

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