Seja
uma aplicação dada por
.
T é um isomorfismo? Se sim, determine
.
T é um isomorfismo? Se sim, determine
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
definida por
Queremos verificar se
é um isomorfismo (isto é, inversível) e, em caso afirmativo, determinar
e sua matriz na base canônica.
Passo 2
Para verificar a inversibilidade, representamos
na base canônica. Observando as imagens dos vetores canônicos, obtemos a matriz
que é triangular superior com
Como o determinante é não nulo,
T é um isomorfismo.
Passo 3
Para achar
T^-1 , seja
(u1,u2,u3)=T(x,y,z) . Das componentes temos
Da primeira equação segue
Da segunda obtemos
Finalmente, da terceira:
Passo 4
Assim,
Logo, a matriz de
T^-1 na base canônica é