Seja T: R^3 R^3 uma aplicação dada por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, z).
T é um isomorfismo? Se sim, determine T^-1 e [T^-1].

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z)=(x+y+z,;2y+z,;z)
Queremos verificar se T é um isomorfismo (isto é, inversível) e, em caso afirmativo, determinar T^-1 e sua matriz na base canônica.

Passo 2

Para verificar a inversibilidade, representamos T na base canônica. Observando as imagens dos vetores canônicos, obtemos a matriz
A = [T] = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1 ,
que é triangular superior com
det A = 1cdot2cdot1 = 2 neq 0
Como o determinante é não nulo, T é um isomorfismo.

Passo 3

Para achar T^-1, seja (u1,u2,u3)=T(x,y,z). Das componentes temos
u3 = z, u2 = 2y+z, u1 = x+y+z
Da primeira equação segue
z = u3
Da segunda obtemos
y = u2 - u32
Finalmente, da terceira:
x = u1 - y - z = u1 - u2 - u32 - u3 = 2u1 - u2 - u32

Passo 4

Assim,
T^-1(u1,u2,u3) = l(tfrac2u1 - u2 - u32,;tfracu2 - u32,;u3r)
Logo, a matriz de T^-1 na base canônica é
[T^-1] = 1 & -tfrac12 & -tfrac12 0 & tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & 1

Resposta

T é isomorfismo.
T^-1(u1,u2,u3) = l(tfrac2u1 - u2 - u32,;tfracu2 - u32,;u3r), [T^-1] = 1 & -tfrac12 & -tfrac12 0 & tfrac12 & -tfrac12 0 & 0 & 1

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