Seja beta=1-x, x-x^2, 2+x^2 uma base de P2(R).
Encontre a matriz de mudança da base beta para a base canônica C de P2(R), lembrando que C=1, x, x^2.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base de beta=1-x,;x-x^2,;2+x^2 para a base canônica C=1,x,x^2 de P2(R). Para isso, vamos expressar cada vetor de beta em coordenadas na base canônica e então montar a matriz cujas colunas são exatamente essas coordenadas.

Passo 2

Expressamos cada polinômio de beta como combinação linear de 1,x,x^2, obtendo suas coordenadas:
  • Para 1 - x:
1 - x = 1cdot 1 + (-1)cdot x + 0cdot x^2 Longrightarrow [,1-x,]C = 1-10
  • Para x - x^2:
x - x^2 = 0cdot 1 + 1cdot x + (-1)cdot x^2 Longrightarrow [,x-x^2,]C = 01-1
  • Para 2 + x^2:
2 + x^2 = 2cdot 1 + 0cdot x + 1cdot x^2 Longrightarrow [,2+x^2,]C = 201

Passo 3

A matriz de mudança de base PCbeta é formada pelas colunas [,1-x,]C, [,x-x^2,]C e [,2+x^2,]C, respectivamente:
PCbeta = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

Resposta

PCbeta = 1 & 0 & 2 -1 & 1 & 0 0 & -1 & 1

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