Seja T: R^3 longrightarrow R^2 dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
Determine os subespaços vetoriais núcleo Ker(T) e a imagem Im(T);

Passo 1

O enunciado pede para determinar Ker(T) e Im(T) para a transformação linear
T:R^3longrightarrowR^2, T(x,y,z)=(x-3y+5z,,-x+4y-z)
O conteúdo é espaço núcleo e espaço imagem de uma transformação linear. Vamos usar representação matricial de T, resolver um sistema linear para achar o núcleo e usar o span das colunas para achar a imagem.

Passo 2

Representamos como multiplicação pela matriz
de modo que
O núcleo de é o conjunto de que satisfaz e a imagem de é o espaço gerado pelas colunas de .

Passo 3

Para
Somando as duas equações vem
Substituindo em (x -3(-4z)+5z=0] obtemos

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Passo 4

Para Im(T), consideramos as colunas de A:
c1=(1,-1), c2=(-3,4), c3=(5,-1).
Verificamos que
c3 = 17,c1 + 4,c2,
ou seja, c3 é combinação linear de c1 e c2. Como c1 e c2 são linearmente independentes em R^2, temos
Im(T) =span(1,-1),,(-3,4) =R^2

Resposta

Ker(T)=span(-17,-4,1)\n Im(T)=R^2

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