Seja dada por .
Determine os subespaços vetoriais núcleo e a imagem ;
Passo 1
O enunciado pede para determinar e para a transformação linear
O conteúdo é espaço núcleo e espaço imagem de uma transformação linear. Vamos usar representação matricial de , resolver um sistema linear para achar o núcleo e usar o span das colunas para achar a imagem.
Passo 2
Representamos como multiplicação pela matriz
de modo que
O núcleo de é o conjunto de que satisfaz e a imagem de é o espaço gerado pelas colunas de .
Passo 3
Para
Somando as duas equações vem
Substituindo em (x -3(-4z)+5z=0] obtemos
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Passo 4
Para Im(T), consideramos as colunas de A: c1=(1,-1), c2=(-3,4), c3=(5,-1).
Verificamos que
c3 = 17,c1 + 4,c2,
ou seja, c3 é combinação linear de c1 e c2. Como c1 e c2 são linearmente independentes em R^2, temos