Seja uma aplicação T: R^2 P^2(R), tal que
l T(3,1)=2-10 x T(5,2)=-6-6 x^2
Logo T é uma transformação linear de R^2 em P^2 da forma:
T(a, b)=c1 a+c2 b+(d1 a+d2 b) x+(e1 a+e2 b) x^2
Calcule o valor de (c1+d1+e1).

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear
Tcolon R^2to P^2(R), T(a,b)=c1a+c2b+(d1a+d2b)x+(e1a+e2b)x^2,
e dá os valores
T(3,1)=2-10x, T(5,2)=-6-6x^2
Precisamos encontrar c1+d1+e1.

Passo 2

Comparando coeficientes constantes, de x e de x^2 em T(3,1) e T(5,2), obtemos os sistemas:
3c1 + c2 = 2, 3d1 + d2 = -10, 3e1 + e2 = 0
5c1 + 2c2 = -6, 5d1 + 2d2 = 0, 5e1 + 2e2 = -6

Passo 3

Resolvendo o sistema para c1,c2:
Da primeira equação,
c2 = 2 - 3c1
Substituindo em 5c1 + 2c2 = -6:
5c1 + 2(2-3c1) = -6 Longrightarrow 5c1 + 4 -6c1 = -6 Longrightarrow -c1 = -10 Longrightarrow c1 = 10

Passo 4

Resolvendo para d1,d2:
d2 = -10 - 3d1,
em
5d1 + 2d2 = 0 Longrightarrow 5d1 + 2(-10-3d1) = 0 Longrightarrow -,d1 -20 = 0 Longrightarrow d1 = -20

Passo 5

Resolvendo para e1,e2:
e2 = -3e1,
em
5e1 + 2e2 = -6 Longrightarrow 5e1 + 2(-3e1) = -6 Longrightarrow -,e1 = -6 Longrightarrow e1 = 6

Passo 6

Agora calculamos
c1 + d1 + e1 = 10 - 20 + 6 = -4

Resposta

-4

Exercícios relacionados