(b) Seja T(h) a aproximação da integral acima calculada com o método dos n-trapézios referente ao espaçamento h:=1 / n. O valor exato da integral é o limite de T(h) com h tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinômio de grau 3 que interpola T(h) nos pontos h=1, h=0.5, h=0.25 e h=0.125 e avaliando esse polinômio no ponto h=0 como estimativa para a integral. Faça isso e compare o valor obtido com o valor de pi fornecido pela calculadora.

Passo 1

Tranquilo, vamos lá. O enunciado diz que temos uma função T(h) que é a aproximação de uma certa integral pelo método dos trapézios, com espaçamento h=1/n. O valor exato é o limite de T(h) quando h→0. A ideia é pegar os quatro pontos
h₀=1, h₁=0.5, h₂=0.25, h₃=0.125
e os respectivos T(hᵢ), montar o polinômio interpolador de grau 3 em h e avaliar em h=0 para estimar a integral. Depois a gente compara com π da calculadora.
Conteúdo aplicado:
• Regra dos trapézios para estimar integrais.
• Interpolação polinomial de Lagrange (polinômio de grau 3).
• Extrapolação (avaliar em h=0).

Passo 2

Primeiro, precisamos dos valores de T(h) usando a integral
∫₀¹ 4/(1+x²) dx = π.
Pelo trapézio com n subintervalos (h=1/n):
  1. h₀=1 ⇒ n=1
    T₀ = h₀·[f(0)/2 + f(1)/2] = 1·[(4/1)/2 + (4/2)/2] = (2 +1) = 3.
  2. h₁=0.5 ⇒ n=2, nós em x=0,0.5,1
    f(0)=4, f(0.5)=4/1.25=3.2, f(1)=2
    T₁ = 0.5·[4/2 + 3.2 + 2/2] = 0.5·[2 +3.2 +1] = 0.5·6.2 = 3.1
  3. h₂=0.25⇒ n=4, x=0,0.25,0.5,0.75,1
    f(0.25)=4/1.0625≈3.7647, f(0.75)=4/1.5625=2.56
    T₂ = 0.25·[(4+2)/2 + 3.7647 +3.2 +2.56] = 0.25·[3 +9.5247] = 3.13118
  4. h₃=0.125⇒ n=8, x=0,0.125,…,1
    calculando cada f(xᵢ) e aplicando a fórmula dá
    T₃ ≈ 3.138875.
Resumo numérico:
(hᵢ, Tᵢ) = (1, 3), (0.5, 3.1), (0.25, 3.13118), (0.125, 3.138875).

Passo 3

Agora vamos ao polinômio de Lagrange P(h) de grau 3 que satisfaz P(hᵢ)=Tᵢ.
Ele se escreve
P(h) = ∑_{i=0}^3 Tᵢ·Lᵢ(h),
onde
Lᵢ(h) = ∏_{j≠i} (h – hⱼ)/(hᵢ – hⱼ).
A gente só quer P(0), então vamos calcular Lᵢ(0) para i=0…3.

Passo 4

Calcular Lᵢ(0):
L₀(0) = (0–0.5)(0–0.25)(0–0.125) / [(1–0.5)(1–0.25)(1–0.125)]
= (–0.5·–0.25·–0.125)/(0.5·0.75·0.875) ≈ –0.047619
L₁(0) = (0–1)(0–0.25)(0–0.125)/[ (0.5–1)(0.5–0.25)(0.5–0.125) ]
≈ 0.666667
L₂(0) ≈ –2.666667
L₃(0) ≈ 3.047619
Logo
P(0) = ∑ Tᵢ·Lᵢ(0)
= 3·(–0.047619) + 3.1·0.666667 + 3.13118·(–2.666667) + 3.138875·3.047619
≈ –0.142857 +2.066667 –8.350147 +9.566093
≈ 3.139756

Passo 5

Comparando com π ≈ 3.141593, a estimativa tem erro
|3.139756 – 3.141593| ≈ 0.00184
ou seja, algo em torno de 0.06% de diferença — bem bom pra só quatro pontos!

Resposta

A estimativa obtida pelo polinômio de grau 3 em h e avaliada em h=0 é aproximadamente
P(0)approx 3.1398,,
que fica a cerca de 0.00184 de π.

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