Considere a integral
I(a)=integral0^a x^2 e^-x d x
(a) Obtenha I(1) com duas casas decimais corretas usando a regra de Simpson.

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente aproximar
I(1)=integral0^1 x^2e^-x,dx
usando a regra de Simpson e querer o resultado com duas casas decimais corretas.
Matéria: integração numérica (regra de Simpson).
O que vamos precisar:
  1. Dividir o intervalo [0,1] em um número par integral0^1f(x),dxapprox h3l[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+dots+4f(xn-1)+f(xn)r] de subintervalos.
  2. Calcular o passo .
  3. Avaliar nos nós.
  4. Aplicar a fórmula de Simpson:

Passo 2

Escolhendo o caso mais simples, pegamos x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1 (é par, e já dá boa precisão).
  • Então f(0) = 0^2e^0 = 0, f(0.5)=0.5^2 e^-0.5 =0.25cdot e^-0.5, f(1)=1^2 e^-1=e^-1 .
  • Os nós são
  • A função é . Vamos calcular:

Passo 3

Agora aplicamos a regra de Simpson para I(1)approx h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] =0.53l[0 +4,(0.25e^-0.5) + e^-1r] :
0.25,e^-0.5approx 0.25cdot0.60653=0.15163, e^-1approx0.36788,
Calculando numericamente:
I(1)approx 0.53l[4cdot0.15163 +0.36788r] =0.16667,(0.60652+0.36788) approx0.16667cdot0.9744 approx0.1624
Para duas casas decimais corretas, arredondamos para 0.16.

Resposta

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