Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular
Isso é um integral definida, envolvendo funções racionais e uma raiz quadrada. Vamos usar:
1) Propriedades de funções pares e ímpares;
2) Separar em integrais mais simples;
3) Substituição trigonométrica (tipo
Passo 2
Primeiro, escrevemos a integral como soma de duas:
Aqui a gente já tirou o fator
Passo 3
A teoria de função ímpar/das:
- Uma função
é ímpar se . - Integral de ímpar em
dá zero.
No primeiro pedaço temos
. Note que
.
Logo
Logo
Passo 4
Sobrou então
Agora
Fica
Passo 5
Vamos à substituição trigonométrica:
Definimos , daí
e
.
Quando , e
.
No integral:
Definimos
Quando
No integral:
Então
$$\int_{0}{2}\frac{x2}{\sqrt{4-x^2}},dx
= \int_{0}{\pi/2}\frac{4\sin2\theta}{2\cos\theta}, (2\cos\theta,d\theta)
= \int_{0}{\pi/2}4\sin2\theta,d\theta.$$
Passo 6
Usamos a identidade
:
Integramos: