integral-2^2 x^3+2 x^24 raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular
I = integral-2^2 x^3 + 2x^24raiz4 - x^2,dx
Isso é um integral definida, envolvendo funções racionais e uma raiz quadrada. Vamos usar:
1) Propriedades de funções pares e ímpares;
2) Separar em integrais mais simples;
3) Substituição trigonométrica (tipo x = 2sintheta) para resolver o que sobrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a integral como soma de duas:
I = 14integral-2^2 x^3raiz4-x^2,dx ;+; 24integral-2^2x^2raiz4-x^2,dx
Aqui a gente já tirou o fator 1/4 e o 2/4 = 1/2 fora das integrais.

Passo 3

A teoria de função ímpar/das:
  • Uma função f(x) é ímpar se f(-x) = -f(x).
  • Integral de ímpar em [-a,a] dá zero.
No primeiro pedaço temos f(x)=x^3/raiz4-x^2. Note que f(-x)=(-x)^3/raiz4-(-x)^2=-x^3/raiz4-x^2=-f(x).
Logo
integral-2^2x^3raiz4-x^2,dx = 0

Passo 4

Sobrou então
I = 12integral-2^2x^2raiz4-x^2,dx
Agora g(x)=x^2/raiz4-x^2 é uma função par ( g(-x)=g(x)), então podemos usar simetria:
integral-2^2g(x),dx = 2integral0^2g(x),dx
Fica
I = 12cdot 2integral0^2x^2raiz4-x^2,dx = integral0^2x^2raiz4-x^2,dx

Passo 5

Vamos à substituição trigonométrica:
Definimos x = 2sintheta, daí dx = 2costheta,dtheta e raiz4-x^2 = 2costheta.
Quando x=0totheta=0, e x=2totheta=pi/2.
No integral:
x^2 = 4sin^2theta, dx=2costheta,dtheta,raiz4-x^2=2costheta
Então
$$\int_{0}{2}\frac{x2}{\sqrt{4-x^2}},dx
= \int_{0}{\pi/2}\frac{4\sin2\theta}{2\cos\theta}, (2\cos\theta,d\theta)
= \int_{0}{\pi/2}4\sin2\theta,d\theta.$$

Passo 6

Usamos a identidade sin^2theta = tfrac1-cos2theta2:
4integral0^pi/2sin^2theta,dtheta =4integral0^pi/21-cos2theta2,dtheta =2integral0^pi/2(1-cos2theta),dtheta
Integramos:
2l[theta - tfracsin2theta2r]0^pi/2 =2l(tfracpi2-0 -0r) = pi

Resposta

boxedpi

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