6- Seja A a área do paralelogramo cujos vértices são (0,0,0)(13,2,10)(0,-4,20)(13,-2,30). Determine A^{2}

Passo 1

O enunciado fornece os vértices de um paralelogramo em \mathbb{R}^3: (0,0,0), (13,2,10), (0,-4,20) e (13,-2,30). Pede-se A^2, onde A é a área desse paralelogramo. Vamos usar produto vetorial e a identidade que liga \|\vec u\times\vec v\| a normas e produto escalar.

Passo 2

Tomamos como vértice de referência O=(0,0,0) e dois lados adjacentes
\vec u = \overrightarrow{O(13,2,10)}=(13,2,10)
\vec v = \overrightarrow{O(0,-4,20)}=(0,-4,20).
Note que (13,2,10)+\vec v=(13,-2,30), que é o quarto vértice, confirmando o paralelogramo.

Passo 3

A área do paralelogramo é
A = \|\vec u \times \vec v\|,
logo
A^2 = \|\vec u\|^2\,\|\vec v\|^2 - (\vec u\cdot\vec v)^2.
Calculamos
\|\vec u\|^2 = 13^2 + 2^2 + 10^2 = 273,
\|\vec v\|^2 = 0^2 + (-4)^2 + 20^2 = 416,
\vec u\cdot\vec v = 13\cdot0 + 2\cdot(-4) + 10\cdot20 = 192.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
A^2 = 273 \times 416 - 192^2 = 113568 - 36864 = 76704.

Resposta

76704

Exercícios relacionados