6- Seja A a área do paralelogramo cujos vértices são (0,0,0)(13,2,10)(0,-4,20)(13,-2,30). Determine A^{2}
Passo 1
O enunciado fornece os vértices de um paralelogramo em \mathbb{R}^3: (0,0,0), (13,2,10), (0,-4,20) e (13,-2,30). Pede-se A^2, onde A é a área desse paralelogramo. Vamos usar produto vetorial e a identidade que liga \|\vec u\times\vec v\| a normas e produto escalar.
Passo 2
Tomamos como vértice de referência O=(0,0,0) e dois lados adjacentes \vec u = \overrightarrow{O(13,2,10)}=(13,2,10) \vec v = \overrightarrow{O(0,-4,20)}=(0,-4,20).
Note que (13,2,10)+\vec v=(13,-2,30), que é o quarto vértice, confirmando o paralelogramo.