Seja T \cdot \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(5,2,7) e T(0,0,1)=(-2,0,7). Verifique se T é um automorfismo.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e informa as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0)=(2,3,1).
T(0,1,0)=(5,2,7).
T(0,0,1)=(-2,0,7).
A pergunta é: verificar se T é um automorfismo (ou seja, se é um isomorfismo de \mathbb{R}^3 com ele mesmo — isto é, se é bijetivo/invertível).
Passo 2
Como nos foram dadas as imagens dos vetores da base canônica, podemos escrever a matriz de T na base padrão colocando essas imagens como colunas. Se chamarmos e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então a matriz A de T relativa à base canônica é
pois a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3).
Explicando o porquê disso (rapidinho): uma aplicação linear é determinada pelas imagens da base; escrever essas imagens como colunas dá a matriz que transforma coordenadas por multiplicação A\mathbf{x}=T(\mathbf{x}).]
Passo 3
Critério prático: para uma matriz quadrada de dimensão finita, a transformação linear correspondente é invertível se, e somente se, a determinante da matriz for diferente de zero. Então vamos calcular \det(A).
Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) o desenvolvimento por cofatores na primeira linha dá
Como \det(A)=-115\neq0, concluímos que a matriz A é invertível, portanto o operador linear T é invertível (possui inversa linear). Isso significa que T é bijetivo e, por definição, é um automorfismo de \mathbb{R}^3.
Força aí — terminou bem: determinante não-nulo garante a inversibilidade.