Seja T \cdot \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear tal que T(1,0,0)=(2,3,1), T(0,1,0)=(5,2,7) e T(0,0,1)=(-2,0,7). Verifique se T é um automorfismo.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} e informa as imagens dos vetores da base canônica:
  • T(1,0,0)=(2,3,1).
  • T(0,1,0)=(5,2,7).
  • T(0,0,1)=(-2,0,7).
A pergunta é: verificar se T é um automorfismo (ou seja, se é um isomorfismo de \mathbb{R}^3 com ele mesmo — isto é, se é bijetivo/invertível).

Passo 2

Como nos foram dadas as imagens dos vetores da base canônica, podemos escrever a matriz de T na base padrão colocando essas imagens como colunas. Se chamarmos e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1), então a matriz A de T relativa à base canônica é
A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -2\\[4pt] 3 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 7 & 7 \end{pmatrix},
pois a primeira coluna é T(e_1), a segunda é T(e_2) e a terceira é T(e_3).
Explicando o porquê disso (rapidinho): uma aplicação linear é determinada pelas imagens da base; escrever essas imagens como colunas dá a matriz que transforma coordenadas por multiplicação A\mathbf{x}=T(\mathbf{x}).]

Passo 3

Critério prático: para uma matriz quadrada de dimensão finita, a transformação linear correspondente é invertível se, e somente se, a determinante da matriz for diferente de zero. Então vamos calcular \det(A).
Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}) o desenvolvimento por cofatores na primeira linha dá
\det(A)=a_{11}\det\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\[4pt]a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\[4pt]a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[4pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.
Aqui a_{11}=2, a_{12}=5, a_{13}=-2; os menores correspondentes são:
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]7 & 7\end{pmatrix}=2\cdot7-0\cdot7=14.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix}3 & 0\\[4pt]1 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-0\cdot1=21.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix}3 & 2\\[4pt]1 & 7\end{pmatrix}=3\cdot7-2\cdot1=21-2=19.]

Passo 4

Substituindo na fórmula do determinante:
\det(A)=2\cdot14 - 5\cdot21 + (-2)\cdot19.
Agora calculando passo a passo:
2\cdot14=28,\qquad 5\cdot21=105,\qquad (-2)\cdot19=-38.
Logo
\det(A)=28-105-38=28-(105+38)=28-143=-115.

Passo 5

Como \det(A)=-115\neq0, concluímos que a matriz A é invertível, portanto o operador linear T é invertível (possui inversa linear). Isso significa que T é bijetivo e, por definição, é um automorfismo de \mathbb{R}^3.
Força aí — terminou bem: determinante não-nulo garante a inversibilidade.

Resposta

Sim. \det(A)=-115\neq0, logo T é um automorfismo.

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