Seja U=\mathbb{R}^{3}, V=\mathbb{R}^{2}, B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e C=\{(1,1),(1,-1)\} bases de U e V, respectivamente. Encontre a transformação T \in L(U, V) tal que [T]_{C}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}10 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)
Passo 1
O enunciado dá:
U=\mathbb{R}^{3} com a base B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (a base canônica).
V=\mathbb{R}^{2} com a base C=\{(1,1),(1,-1)\}.
Uma matriz 2\times3 que representa T em relação às bases B (domínio) e C (contradomínio):
O que o enunciado pede: encontrar a transformação linear T\in L(U,V) explícita (isto é, dar a fórmula de T em coordenadas usuais de \mathbb{R}^3 e, se desejado, a matriz padrão de T).]
Passo 2
Entendendo o significado da matriz dada (no esquema bases B para o domínio e C para o contradomínio).
Por definição, a coluna j de A é o vetor de coordenadas [T(e_j)]_{C}, onde e_j é o j-ésimo vetor da base B. Ou seja,
[T(e_j)]_{C} = \text{coluna } j \text{ de } A.
Isto significa que, por exemplo, a primeira coluna \begin{pmatrix}10\\[2pt]2\end{pmatrix} nos diz que
T(e_1)=10\,(1,1)+2\,(1,-1)
quando escrevemos o resultado como combinação linear dos vetores da base C.]
Passo 3
Como a base B é a base canônica, as coordenadas de um vetor u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 em relação a B são simplesmente (x,y,z). Então, para obter T na forma usual (coordenadas canônicas do contradomínio), precisamos transformar as coordenadas em base C para coordenadas canônicas em \mathbb{R}^2.
Se um vetor em V tem coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix} na base C, então, escrevendo explicitamente os vetores de C,
a(1,1)+b(1,-1)=(a+b,\;a-b).
Portanto, a matriz de mudança de coordenadas que leva coordenadas em C para coordenadas canônicas é
Interpretação final: a matriz P A é a matriz de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 (domínio) e \mathbb{R}^2 (contradomínio). Assim, para um vetor u=(x,y,z) em coordenadas usuais,
(Como checagem rápida: a primeira coluna dessa matriz é T(e_1) em coordenadas canônicas. Pela matriz original A a primeira coluna dizia [T(e_1)]_{C}=\begin{pmatrix}10\\[2pt]2\end{pmatrix}, e convertendo em canônicas 10(1,1)+2(1,-1)=(12,8), que é precisamente a primeira coluna que encontramos.)]