Seja U=\mathbb{R}^{3}, V=\mathbb{R}^{2}, B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e C=\{(1,1),(1,-1)\} bases de U e V, respectivamente. Encontre a transformação T \in L(U, V) tal que [T]_{C}^{n}=\left(\begin{array}{ccc}10 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá:
  • U=\mathbb{R}^{3} com a base B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} (a base canônica).
  • V=\mathbb{R}^{2} com a base C=\{(1,1),(1,-1)\}.
  • Uma matriz 2\times3 que representa T em relação às bases B (domínio) e C (contradomínio):
[T]_{C}^{B}=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar a transformação linear T\in L(U,V) explícita (isto é, dar a fórmula de T em coordenadas usuais de \mathbb{R}^3 e, se desejado, a matriz padrão de T).]

Passo 2

Entendendo o significado da matriz dada (no esquema bases B para o domínio e C para o contradomínio).
Seja A a matriz dada:
A=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Por definição, a coluna j de A é o vetor de coordenadas [T(e_j)]_{C}, onde e_j é o j-ésimo vetor da base B. Ou seja,
[T(e_j)]_{C} = \text{coluna } j \text{ de } A.
Isto significa que, por exemplo, a primeira coluna \begin{pmatrix}10\\[2pt]2\end{pmatrix} nos diz que
T(e_1)=10\,(1,1)+2\,(1,-1)
quando escrevemos o resultado como combinação linear dos vetores da base C.]

Passo 3

Como a base B é a base canônica, as coordenadas de um vetor u=(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 em relação a B são simplesmente (x,y,z). Então, para obter T na forma usual (coordenadas canônicas do contradomínio), precisamos transformar as coordenadas em base C para coordenadas canônicas em \mathbb{R}^2.
Se um vetor em V tem coordenadas \begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix} na base C, então, escrevendo explicitamente os vetores de C,
a(1,1)+b(1,-1)=(a+b,\;a-b).
Portanto, a matriz de mudança de coordenadas que leva coordenadas em C para coordenadas canônicas é
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
porque P\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\[2pt]a-b\end{pmatrix}.]

Passo 4

Relação entre as matrizes: se A=[T]_{C}^{B} então, para coordenadas canônicas do contradomínio,
[T]_{\text{can}}^{\text{can}} = P\,A,
pois primeiro calculamos [T(u)]_{C}=A\,[u]_{B} e depois passamos de coordenadas em C para coordenadas canônicas multiplicando por P.
Vamos calcular P\,A. Escrevendo
P=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}10 & 2 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 3\end{pmatrix},
multiplicamos:
  • Primeira linha de P vezes A: soma da primeira e segunda linhas de A,
\text{linha}_1(PA)=\text{linha}_1(A)+\text{linha}_2(A) =\begin{pmatrix}10+2 & 2+1 & 1+3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 3 & 4\end{pmatrix}.
  • Segunda linha de P vezes A: primeira linha de A menos a segunda linha de A,
\text{linha}_2(PA)=\text{linha}_1(A)-\text{linha}_2(A) =\begin{pmatrix}10-2 & 2-1 & 1-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}8 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Portanto
P\,A=\begin{pmatrix}12 & 3 & 4 \\[4pt] 8 & 1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Interpretação final: a matriz P A é a matriz de T em relação às bases canônicas de \mathbb{R}^3 (domínio) e \mathbb{R}^2 (contradomínio). Assim, para um vetor u=(x,y,z) em coordenadas usuais,
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}12 & 3 & 4 \\[4pt] 8 & 1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}.
(Como checagem rápida: a primeira coluna dessa matriz é T(e_1) em coordenadas canônicas. Pela matriz original A a primeira coluna dizia [T(e_1)]_{C}=\begin{pmatrix}10\\[2pt]2\end{pmatrix}, e convertendo em canônicas 10(1,1)+2(1,-1)=(12,8), que é precisamente a primeira coluna que encontramos.)]

Resposta

T(x,y,z)=\bigl(12x+3y+4z,\;8x+y-2z\bigr)
\text{Matriz padrão de }T:\qquad \begin{pmatrix}12 & 3 & 4 \\[4pt] 8 & 1 & -2\end{pmatrix}ã]

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