Em um tetraedro de vértices A, B, C e D, seja M o ponto médio da aresta A B e N o ponto médio da aresta oposta C D. Expresse o vetor \overrightarrow{M N} em função das diagonais cruzadas do tetraedro (\overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dados: um tetraedro com vértices A,B,C,D.
  • Dados: M é o ponto médio da aresta AB.
  • Dados: N é o ponto médio da aresta oposta CD.
  • Pedido: expressar o vetor \overrightarrow{M N} em função das diagonais cruzadas \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}.

Passo 2

Para trabalhar com vetores de forma limpa, introduzo vetores posição dos vértices em relação a um ponto de origem qualquer O. Ou seja, defino
\vec{a}=\overrightarrow{O A},\qquad \vec{b}=\overrightarrow{O B},\qquad \vec{c}=\overrightarrow{O C},\qquad \vec{d}=\overrightarrow{O D}.
Explicação: escolher uma origem é só uma conveniência algébrica — resultados relativos entre pontos não dependem dessa escolha.
Como M é o ponto médio de AB, o vetor posição de M é a média dos vetores posição de A e B. Logo
\vec{m}=\overrightarrow{O M}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}.
De modo análogo, como N é o ponto médio de C D,
\vec{n}=\overrightarrow{O N}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}.
Breve justificativa da média: em coordenadas cartesianas cada componente do ponto médio é a média aritmética das componentes dos extremos; a relação vetorial é exatamente isso.

Passo 3

O vetor pedido é \overrightarrow{M N}=\vec{n}-\vec{m}. Substituindo as expressões de \vec{m} e \vec{n} obtemos
\overrightarrow{M N}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} =\frac{(\vec{c}-\vec{a})+(\vec{d}-\vec{b})}{2}.
Aqui foi só fatorar 1/2 e agrupar termos. A operação \vec{c}-\vec{a} representa o vetor que vai de A a C; e \vec{d}-\vec{b} representa o vetor que vai de B a D.

Passo 4

Reconhecendo as diagonais cruzadas do tetraedro nas diferenças de vetores posição:
\vec{c}-\vec{a}=\overrightarrow{A C},\qquad \vec{d}-\vec{b}=\overrightarrow{B D}.
Substituindo essas identidades na expressão do passo anterior obtemos a relação final desejada (ver seção de resposta).

Resposta

\displaystyle \overrightarrow{M N}=\tfrac{1}{2}\big(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}\big)

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