Em um tetraedro de vértices A, B, C e D, seja M o ponto médio da aresta A B e N o ponto médio da aresta oposta C D. Expresse o vetor \overrightarrow{M N} em função das diagonais cruzadas do tetraedro (\overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados: um tetraedro com vértices A,B,C,D.
Dados: M é o ponto médio da aresta AB.
Dados: N é o ponto médio da aresta oposta CD.
Pedido: expressar o vetor \overrightarrow{M N} em função das diagonais cruzadas \overrightarrow{A C} e \overrightarrow{B D}.
Passo 2
Para trabalhar com vetores de forma limpa, introduzo vetores posição dos vértices em relação a um ponto de origem qualquer O. Ou seja, defino
Breve justificativa da média: em coordenadas cartesianas cada componente do ponto médio é a média aritmética das componentes dos extremos; a relação vetorial é exatamente isso.
Passo 3
O vetor pedido é \overrightarrow{M N}=\vec{n}-\vec{m}. Substituindo as expressões de \vec{m} e \vec{n} obtemos
Aqui foi só fatorar 1/2 e agrupar termos. A operação \vec{c}-\vec{a} representa o vetor que vai de A a C; e \vec{d}-\vec{b} representa o vetor que vai de B a D.
Passo 4
Reconhecendo as diagonais cruzadas do tetraedro nas diferenças de vetores posição: