8 Seja A B C D um paralelogramo e sejam M e N os pontos médios dos lados A B e C D, respectivamente. Mostre que a reta over<=ftrightarrowM D é paralela à reta over<=ftrightarrowB N.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo ABCD e os pontos médios M de AB e N de CD. Queremos mostrar que a reta over<=ftrightarrowMD é paralela à reta over<=ftrightarrowBN. O conteúdo usado será geometria vetorial, lembrando que duas retas são paralelas se tiverem vetores diretores proporcionais (ou iguais).

Passo 2

Escolhemos A como origem dos vetores e definimos
AB = b, AD = d
Como ABCD é paralelogramo, temos
DC = AB = b,
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C = D + DC = d + b

Passo 3

Escrevemos as posições de M e N em função de b e d.
Como M é o ponto médio de AB,
M = A + tfrac12,AB = tfrac12,b
Como N é o ponto médio de CD,
N = C + tfrac12,(D-C) = (b+d) + tfrac12l(d - (b+d)r) = tfrac12,b + d

Passo 4

Calculamos os vetores diretores das retas:
MD = D - M = d - tfrac12,b,
BN = N - B = l(tfrac12,b + dr) - b = d - tfrac12,b
Observe que
MD = BN

Resposta

Como os vetores diretores de over<=ftrightarrowMD e over<=ftrightarrowBN coincidem, concluímos que
over<=ftrightarrowMD paral<=l over<=ftrightarrowBN

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