2^ a : Seja B=i, j, k a base canônica de R^3. Se u=i+j+3 k e v=j+2 k. Encontre:
a) |2 u+3 v|.
b) lang<=u, 12 vrang<=.

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^3
u = i + j + 3k, v = j + 2k
e pede (a) o módulo de 2u+3v e (b) o produto interno lang<= u,tfrac12vrang<=. Para isso vamos usar:
  1. A combinação linear de vetores componente a componente.
  2. A fórmula do módulo de um vetor |,(x,y,z)|;=;raizx^2+y^2+z^2.
  3. A definição de produto interno em R^3:
lang<= (x1,y1,z1),(x2,y2,z2)rang<= = x1x2 + y1y2 + z1z2

Passo 2

Primeiro escrevemos u e v em coordenadas:
u = (1,1,3), v = (0,1,2)
Então
2u + 3v = 2,(1,1,3) + 3,(0,1,2) = (2,2,6) + (0,3,6) = (2,5,12)

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula do módulo:
|2u+3v| = |(2,5,12)| = raiz2^2 + 5^2 + 12^2 = raiz4 + 25 + 144 = raiz173

Passo 4

Para o produto interno, note que
lang<= u, tfrac12vrang<= = tfrac12,lang<= u,vrang<=
E
lang<= u,vrang<= = (1)(0) + (1)(1) + (3)(2) = 0 + 1 + 6 = 7
Logo
lang<= u, tfrac12vrang<= = tfrac12 cdot 7 = tfrac72

Resposta

a) raiz173
b) tfrac72

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