Seja
B=\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)
A matriz B é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz P invertível e verifique a igualdade D=P^{-1} B P.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
e pergunta se B é diagonalizável e, em caso afirmativo, pede uma matriz P invertível e a verificação de
D = P^{-1} B P.
O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes, e a diagonalização pelo teorema espectral (já que B é simétrica).

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de B. Calculamos
\det(B - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} -\lambda & 1 & 1\\\\ 1 & -\lambda & 1\\\\ 1 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores ou usando uma regra pronta, chega-se a
\det(B - \lambda I) = -\lambda^3 +3\lambda +2
ou seja
\lambda^3 -3\lambda -2 = 0.
Fatorando, obtemos
(\lambda-2)(\lambda+1)^2 = 0.
Logo, os autovalores são
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = \lambda_3 = -1.

Passo 3

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda_1=2, resolvemos (B -2I)x=0:
\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}x=0.
As três equações reduzem-se a x_1=x_2=x_3. Um autovetor conveniente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1, resolvemos (B +I)x=0:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x_1+x_2+x_3=0.
Damos dois vetores independentes no subespaço x_1+x_2+x_3=0, por exemplo
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Tomamos como colunas de P os autovetores v_1,v_2,v_3, e montamos a diagonal D com os autovalores correspondentes:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para verificar a diagonalização, usamos que B\,v_j = \lambda_j\,v_j para cada coluna:
B\,P = \bigl(B\,v_1\;\;B\,v_2\;\;B\,v_3\bigr) = \bigl(2v_1\;,-1v_2\;,-1v_3\bigr) = P\,D.
Multiplicando à esquerda por P^{-1}, obtemos
P^{-1} B P = D,
como queríamos.

Resposta

A matriz B é diagonalizável. Uma escolha de P e D é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},
e de fato D = P^{-1} B P.

Exercícios relacionados