Seja
A matriz
é diagonalizável? Caso afirmativo, encontre a matriz
invertível e verifique a igualdade
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pergunta se
é diagonalizável e, em caso afirmativo, pede uma matriz
invertível e a verificação de
O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores de matrizes, e a diagonalização pelo teorema espectral (já que
é simétrica).
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de
. Calculamos
Expandindo por cofactores ou usando uma regra pronta, chega-se a
ou seja
Fatorando, obtemos
Logo, os autovalores são
Passo 3
Agora achamos os autovetores.
Para
, resolvemos
:
As três equações reduzem-se a
. Um autovetor conveniente é
Para
, resolvemos
:
Damos dois vetores independentes no subespaço
, por exemplo
Passo 4
Tomamos como colunas de
os autovetores
, e montamos a diagonal
com os autovalores correspondentes:
Passo 5
Para verificar a diagonalização, usamos que
para cada coluna:
Multiplicando à esquerda por
, obtemos
como queríamos.
Resposta
A matriz
é diagonalizável. Uma escolha de
e
é
e de fato
.