Sejam T1: V V e T2: V V lineares e injetoras. Mostre que a composta T=T2 circ T1 é injetora e que T^-1 existe e é igual a T1^-1 circ T2^-1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas transformações lineares, T1: V V e T2: V V , que são injetoras. Nosso objetivo é mostrar que a composição dessas duas transformações, chamada T = T2 circ T1 , também é injetora e que ela possui uma inversa, ou seja, T^-1 , que é igual a T1^-1 circ T2^-1 . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade e inversas de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma função T: V V é injetora se, sempre que T(v1) = T(v2) , então v1 = v2 . Isso quer dizer que elementos distintos do domínio são mapeados para elementos distintos do contradomínio.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a composição T = T2 circ T1 é injetora. Ou seja, precisamos mostrar que se T(v1) = T(v2) , então v1 = v2 .
Assumindo que T(v1) = T(v2) , temos:
T2(T1(v1)) = T2(T1(v2))
Como T2 é injetora, podemos concluir que:
T1(v1) = T1(v2)
E como T1 também é injetora, então:
v1 = v2
Portanto, a composição T é injetora.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que T possui uma inversa T^-1 e que essa inversa é igual a T1^-1 circ T2^-1 .
Primeiro, sabemos que se uma transformação linear é injetora e o espaço V é de dimensão finita, então ela também é sobrejetora e, portanto, bijetora, o que garante a existência da inversa.
Assumindo que T é bijetora, sua inversa T^-1 deve satisfazer:
T^-1 circ T = I e T circ T^-1 = I
onde I é a identidade.
Vamos propor que T^-1 = T1^-1 circ T2^-1 e verificar se essa composição realmente satisfaz as condições acima.

Passo 5

Vamos verificar se T^-1 circ T = I :
T^-1 circ T = (T1^-1 circ T2^-1) circ (T2 circ T1) )
Usando a propriedade associativa da composição de funções:
= T1^-1 circ (T2^-1 circ T2) circ T1 = T1^-1 circ I circ T1 = T1^-1 circ T1 = I
Da mesma forma, para T circ T^-1 :
T circ T^-1 = (T2 circ T1) circ (T1^-1 circ T2^-1) )
Novamente, usando a associatividade:
= T2 circ (T1 circ T1^-1) circ T2^-1 = T2 circ I circ T2^-1 = T2 circ T2^-1 = I
Portanto, T^-1 = T1^-1 circ T2^-1 satisfaz as condições necessárias para ser a inversa de T .

Resposta

A composição T = T2 circ T1 é injetora, e sua inversa é dada por T^-1 = T1^-1 circ T2^-1 .

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