Sejam
e
lineares e injetoras. Mostre que a composta
é injetora e que
existe e é igual a
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas transformações lineares,
e
, que são injetoras. Nosso objetivo é mostrar que a composição dessas duas transformações, chamada
, também é injetora e que ela possui uma inversa, ou seja,
, que é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transformações lineares, injetividade e inversas de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma função
é injetora se, sempre que
, então
. Isso quer dizer que elementos distintos do domínio são mapeados para elementos distintos do contradomínio.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a composição
é injetora. Ou seja, precisamos mostrar que se
, então
.
Assumindo que
, temos:
Como
é injetora, podemos concluir que:
E como
também é injetora, então:
Portanto, a composição
é injetora.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que
possui uma inversa
e que essa inversa é igual a
.
Primeiro, sabemos que se uma transformação linear é injetora e o espaço
é de dimensão finita, então ela também é sobrejetora e, portanto, bijetora, o que garante a existência da inversa.
Assumindo que
é bijetora, sua inversa
deve satisfazer:
onde
é a identidade.
Vamos propor que
e verificar se essa composição realmente satisfaz as condições acima.
Passo 5
Vamos verificar se
:
Usando a propriedade associativa da composição de funções:
Da mesma forma, para
:
Novamente, usando a associatividade:
Portanto,
satisfaz as condições necessárias para ser a inversa de
.
Resposta
A composição
é injetora, e sua inversa é dada por
.