Verifique se cada um dos limites existe:
lim (x, y) (0,0) x y^3x^3+y^6

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe
lim(x,y)to(0,0)x,y^3x^3+y^6
Isso é um limite em duas variáveis e, para mostrar existência ou não, vamos comparar valores ao longo de diferentes curvas que se aproximam de (0,0).

Passo 2

Considere o caminho definido por x=y^3. Substituindo em f(x,y)=x,y^3x^3+y^6 temos
x=y^3Longrightarrow y^3,y^3(y^3)^3+y^6 =y^6y^9+y^6 =y^6y^6(y^3+1) =1y^3+1
Quando yto0, isso tende a
10+1=1

Passo 3

Agora use o caminho x=y^2. Então
x,y^3x^3+y^6 =y^2,y^3(y^2)^3+y^6 =y^5y^6+y^6 =y^52,y^6 =12,y
Quando yto0, esse quociente não tende a um valor finito (vai a +infty se yto0^+ e a -infty se yto0^-).

Passo 4

Vimos que ao longo de x=y^3 o limite vale 1, mas ao longo de x=y^2 o valor não se aproxima de um número finito.

Resposta

O limite não existe.

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