Sejam os polinômios p_{0}(x)=\frac{1}{2}(x-1)(x-2), p_{1}(x)=x(x-2), p_{2}(x)=\frac{1}{2} x(x-1).
(a) Mostre que B=\left\{p_{0}, p_{1}, p_{3}\right\} é base de \mathcal{P}_{2} ( o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2.)
(b) Expresse o polinômio p(x)=1-2 x+x^{2} em relação á B.

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p_{0}(x)=\tfrac12(x-1)(x-2),\quad p_{1}(x)=x(x-2),\quad p_{2}(x)=\tfrac12x(x-1)
e pede:
(a) mostrar que B=\{p_{0},p_{1},p_{2}\} é base de \mathcal{P}_{2};
(b) expressar p(x)=1-2x+x^{2} em função de B.
Para (a) vamos verificar que são três polinômios linearmente independentes em um espaço de dimensão 3; para isso montamos a matriz de coordenadas em relação à base canônica \{1,x,x^{2}\}. Em (b) escrevemos
a\,p_{0}(x)+b\,p_{1}(x)+c\,p_{2}(x)=p(x)
e igualamos coeficientes.

Passo 2

Escrevendo cada p_{i} na forma A_i\,x^2+B_i\,x+C_i, temos
p_{0}(x)=\tfrac12x^{2}-\tfrac32x+1,\quad p_{1}(x)=1\,x^{2}-2\,x+0,\quad p_{2}(x)=\tfrac12x^{2}-\tfrac12x+0.
A matriz cujas colunas são \begin{pmatrix}C_i\B_i\A_i\end{pmatrix} é
M=\begin{pmatrix} 1 &0 &0\\\\ -\tfrac32&-2 &-\tfrac12\\\ \tfrac12 &1 &\tfrac12 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det M =1\cdot \det\begin{pmatrix}-2&-\tfrac12\\\ 1&\tfrac12\end{pmatrix} =1\bigl(-2\cdot\tfrac12-(-\tfrac12)\cdot1\bigr) =-1+\tfrac12=-\tfrac12\neq0.
Como \det M\neq0, os três polinômios são linearmente independentes em \mathcal{P}_{2} (que tem dimensão 3). Logo B é uma base.

Passo 4

Para expressar
a\,p_{0}(x)+b\,p_{1}(x)+c\,p_{2}(x) =1-2x+x^{2}
comparamos coeficientes de 1,x,x^{2}. Da constante vem a=1. Do coeficiente de x:
-\tfrac32a-2b-\tfrac12c=-2 \quad\Longrightarrow\quad -\,\tfrac32-2b-\tfrac12c=-2 \;\Rightarrow\;4b+c=1.
Do coeficiente de x^{2}:
\tfrac12a+b+\tfrac12c=1 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12+ b+\tfrac12c=1 \;\Rightarrow\;2b+c=1.
Subtraindo as duas últimas equações obtemos 2b=0\implies b=0, e então c=1.

Resposta

(a) Como \det M=-\tfrac12\neq0, B é base de \mathcal{P}_{2}.
(b) p(x)=1-2x+x^{2}=1\cdot p_{0}(x)+0\cdot p_{1}(x)+1\cdot p_{2}(x).

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