Seja B=u1, u2, u3 um conjunto linearmente independente. Verifique que C=v1, v2, v3 também é um conjunto linearmente independente, onde v1=u1+u2, v2=u3 e v3=2 u2+u1.

Passo 1

Então, a gente tem um conjunto de vetores B = u1, u2, u3 que é linearmente independente. O objetivo é mostrar que outro conjunto C = v1, v2, v3 , onde v1 = u1 + u2 , v2 = u3 e v3 = 2u2 + u1 , também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e a definição de independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 ser c1 = c2 = c3 = 0 . Ou seja, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao conjunto C . Queremos ver se a única solução para c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 é c1 = c2 = c3 = 0 . Substituindo os valores de v1 , v2 e v3 em termos de u1 , u2 e u3 , temos:
c1(u1 + u2) + c2u3 + c3(2u2 + u1) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os coeficientes:
c1u1 + c1u2 + c2u3 + 2c3u2 + c3u1 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(c1 + c3)u1 + (c1 + 2c3)u2 + c2u3 = 0

Passo 5

Como B = u1, u2, u3 é linearmente independente, a única maneira dessa combinação linear igualar a zero é se cada coeficiente for zero. Assim, temos o sistema de equações:
c1 + c3 = 0 c1 + 2c3 = 0 c2 = 0

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação, já sabemos que c2 = 0 .
Agora, das duas primeiras equações:
  1. c1 + c3 = 0 Rightarrow c1 = -c3
  2. Substituindo c1 = -c3 na segunda equação:
- c3 + 2c3 = c3 = 0
Então, c3 = 0 e, consequentemente, c1 = 0 .

Resposta

Os únicos coeficientes que satisfazem a combinação linear c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 são c1 = c2 = c3 = 0 . Portanto, o conjunto C = v1, v2, v3 é linearmente independente.

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