Seja um conjunto linearmente independente. Verifique que também é um conjunto linearmente independente, onde e .
Passo 1
Então, a gente tem um conjunto de vetores que é linearmente independente. O objetivo é mostrar que outro conjunto , onde , e , também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e a definição de independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear ser . Ou seja, nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao conjunto . Queremos ver se a única solução para é . Substituindo os valores de , e em termos de , e , temos:
Passo 4
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Como é linearmente independente, a única maneira dessa combinação linear igualar a zero é se cada coeficiente for zero. Assim, temos o sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Da terceira equação, já sabemos que c2 = 0 .
Agora, das duas primeiras equações:
c1 + c3 = 0 Rightarrow c1 = -c3
Substituindo c1 = -c3 na segunda equação:
- c3 + 2c3 = c3 = 0
Então, c3 = 0 e, consequentemente, c1 = 0 .
Resposta
Os únicos coeficientes que satisfazem a combinação linear c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 são c1 = c2 = c3 = 0 . Portanto, o conjunto C = v1, v2, v3 é linearmente independente.