Sejam A=[cccc1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0] e T a transformação linear associada à matriz A.
T é sobrejetiva?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0
e define TcolonR^4toR^3 por T(x)=Ax. Para saber se T é sobrejetiva, basta verificar se dim(Im,A)=3, ou seja, se rank(A)=3, pois o contradomínio R^3 tem dimensão 3.

Passo 2

Vamos calcular rank(A) por eliminação de Gauss. Somamos a linha 1 à linha 3:
1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1& 0 & 0 & 0 ;xrightarrow;L3 L3+L1;; 1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1
Agora a matriz está em forma triangular superior com pivôs em cada linha não nula (colunas 1, 2 e 3).

Passo 3

Como há três pivôs, concluímos que
rank(A)=3
Portanto dim(Im,A)=3=dim(R^3), o que implica que Im,A=R^3 e, logo, T é sobrejetiva.

Resposta

Sim, T é sobrejetiva.

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