Sejam A=[cccc1 & 0 & 2 & 1 0 & 1 & 0 & 1 -1 & 0 & 0 & 0] e T a transformação linear associada à matriz A.
T é injetiva?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
e define pela regra . Para decidir se é injetiva, basta verificar se . Usaremos o Teorema da Dimensão (rank–nullity):

Passo 2

Vamos calcular por eliminação de Gauss. Começamos com
Adicionando a primeira linha à terceira, obtemos
Agora vemos que há pivôs em coluna 1, coluna 2 e coluna 3, totalizando 3 pivôs.

Passo 3

Portanto
Pelo teorema da dimensão,
Logo o núcleo de tem dimensão 1, isto é, não é apenas o vetor zero.

Passo 4

Como ker Tneq0, a transformação T não é injetiva.

Resposta

T não é injetiva.

Exercícios relacionados