Sejam
e
T a transformação linear associada à matriz
A .
T é injetiva?
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e define
pela regra
. Para decidir se
é injetiva, basta verificar se
. Usaremos o Teorema da Dimensão (rank–nullity):
Passo 2
Vamos calcular por eliminação de Gauss. Começamos com
Adicionando a primeira linha à terceira, obtemos
Agora vemos que há pivôs em coluna 1, coluna 2 e coluna 3, totalizando 3 pivôs.
Passo 3
Portanto
Pelo teorema da dimensão,
Logo o núcleo de
tem dimensão 1, isto é, não é apenas o vetor zero.
Passo 4
Como
ker Tneq0 , a transformação
T não é injetiva.