Verifique se a aplicação T: R^3 longrightarrow R^2 definida por T(x, y, z)=(z, x+y) é linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação
Tcolon R^3toR^2, T(x,y,z) = (,z,;x+y,)
e pede para verificar se T é linear. O conteúdo é transformações lineares, e vamos usar a definição de linearidade, ou seja, testar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

A definição de linearidade diz que T é linear se, para quaisquer u,vinR^3 e qualquer escalar c, valem
  1. T(u+v) = T(u) + T(v) (aditividade)
  2. T(c,u) = c,T(u) (homogeneidade)

Passo 3

Seja u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e
T(u+v) = l(z1+z2,;(x1+x2)+(y1+y2)r) = (z1,x1+y1)+(z2,x2+y2) = T(u) + T(v)

Passo 4

Para homogeneidade, seja cinR e u=(x,y,z). Então
c,u = (c x,;c y,;c z)
e
T(c,u) = l(c z,;c x + c yr) = c,(z,x+y) = c,T(u)

Passo 5

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade estão satisfeitas, concluímos que T é linear.

Resposta

A aplicação T é linear.

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