Seja o operador linear do tal que e .
Mostre que é bijetor.
Passo 1
O enunciado diz que temos um operador linear definido por
Queremos mostrar que é bijetor (isto é, injetivo e sobrejetivo). Para isso, vamos escrever a matriz de na base canônica e usar o critério de invertibilidade via determinante.
Passo 2
A matriz de relativa à base canônica é
pois suas colunas são exatamente as imagens de (1,0) e (0,1).
Passo 3
Calculamos o determinante de M:
det(M) = 2cdot 4 ;-; 1cdot 1 = 8 - 1 = 7
Como det(M)=7neq 0, a matriz é invertível.
Passo 4
Num espaço vetorial de dimensão finita, matriz invertível Leftrightarrow operador linear invertível Leftrightarrow bijetor. Logo T é bijetor.