Seja T o operador linear do R^2 tal que T(1,0)=(2,1) e T(0,1)=(1,4).
Mostre que T é bijetor.

Passo 1

O enunciado diz que temos um operador linear T:R^2toR^2 definido por
T(1,0)=(2,1), T(0,1)=(1,4)
Queremos mostrar que T é bijetor (isto é, injetivo e sobrejetivo). Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica e usar o critério de invertibilidade via determinante.

Passo 2

A matriz de T relativa à base canônica (1,0),(0,1) é
M = 2 & 1 1 & 4 ,
pois suas colunas são exatamente as imagens de (1,0) e (0,1).

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
det(M) = 2cdot 4 ;-; 1cdot 1 = 8 - 1 = 7
Como det(M)=7neq 0, a matriz é invertível.

Passo 4

Num espaço vetorial de dimensão finita, matriz invertível Leftrightarrow operador linear invertível Leftrightarrow bijetor. Logo T é bijetor.

Resposta

T é bijetor.

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