Seja E=(e1, e2, e3) uma base de V^3 e considere a base F=(f1, f2, f3) dada por:
f1=2 e3 f2=e1-e3 f3=e1+e2
Se [v]E=(2,2,-2) e se a, b, c in R forem tais que [v]F=(a, b, c), então a+b+c será igual a:
(a) -2 ;
(b) 2 ;
(c) -1 ;
(d) 0 ;
(e) 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas bases diferentes para um espaço tridimensional, V^3 . A base E é a base padrão, formada pelos vetores e1, e2, e3 . A base F é uma nova base definida com vetores f1, f2, f3 dados pelas equações:
f1 = 2 e3 f2 = e1 - e3 f3 = e1 + e2
Temos um vetor v com coordenadas na base E dadas por [v]E = (2, 2, -2) , e queremos encontrar as coordenadas (a, b, c) desse mesmo vetor na base F . No final, precisamos descobrir o valor de a + b + c .
Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra e utilizar a matriz de mudança de base. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa [v]E = (2, 2, -2) . Isso quer dizer que na base E , o vetor v é uma combinação linear dos vetores da base E multiplicados por 2, 2 e -2, respectivamente. Ou seja:
v = 2e1 + 2e2 - 2e3
Agora, queremos expressar esse mesmo vetor v na base F , ou seja, encontrar a, b, c tais que:
v = af1 + bf2 + cf3
Nosso objetivo final é encontrar a + b + c .

Passo 3

Para fazer essa conversão, vamos montar uma matriz que relaciona as bases E e F . Primeiro, expressamos os vetores da base F em termos da base E :
f1 = 0e1 + 0e2 + 2e3 f2 = 1e1 + 0e2 - 1e3 f3 = 1e1 + 1e2 + 0e3
Esses coeficientes formam a matriz de mudança de base de F para E , que chamaremos de P :
P = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 2 & -1 & 0
Essa matriz transforma coordenadas de F para E . Porém, queremos o contrário: transformar de E para F . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa de P , chamada P^-1 .

Passo 4

Vamos calcular a matriz inversa P^-1 . A inversa de uma matriz P satisfaz P cdot P^-1 = I , onde I é a matriz identidade.
Calculando a inversa de P :
P = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 2 & -1 & 0
Usando métodos de cálculo de matriz inversa (como a regra de Sarrus ou escalonamento), encontramos que:
P^-1 = 0 & 0 & 12 1 & -1 & 12 1 & 1 & -12

Passo 5

Agora que temos P^-1 , podemos usá-la para converter as coordenadas de v da base E para a base F . As coordenadas na base F , [v]F = (a, b, c) , podem ser encontradas multiplicando P^-1 pelo vetor de coordenadas [v]E :
a b c = P^-1 cdot 2 2 -2
Realizando a multiplicação:
a = 0 cdot 2 + 0 cdot 2 + 12 cdot (-2) = 0 + 0 -1 = -1 b = 1 cdot 2 + (-1) cdot 2 + 12 cdot (-2) = 2 -2 -1 = -1 c = 1 cdot 2 + 1 cdot 2 + (-12) cdot (-2) = 2 + 2 +1 = 5
Portanto, [v]F = (-1, -1, 5) .

Passo 6

Agora, basta somar os valores de a, b e c para encontrar a + b + c :
a + b + c = -1 + (-1) + 5 = -2 + 5 = 3
No entanto, olhando as opções disponíveis:
(a) -2 ;
(b) 2 ;
(c) -1 ;
(d) 0 ;
(e) 1 .
Percebemos que 3 não está entre as opções. Isso indica que pode ter havido um erro nos cálculos anteriores. Vamos revisar o Passo 4.

Passo 7

Revendo o cálculo da matriz inversa P^-1 :
P = 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 2 & -1 & 0
Vamos recalcular a inversa corretamente:
Calculando o determinante de P :
det(P) = 0 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) - 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 2) + 1 cdot (0 cdot (-1) - 0 cdot 2) = 0 cdot (0 +1) -1 cdot (0 -2) +1 cdot (0 -0) = 0 + 2 + 0 = 2
Então, a inversa é 12 vezes a matriz adjunta de P :
P^-1 = 12 (0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) & -(0 cdot 0 - 1 cdot 2) & (0 cdot (-1) - 0 cdot 2) -(1 cdot 0 - 1 cdot (-1)) & (0 cdot 0 - 1 cdot 2) & -(0 cdot (-1) - 1 cdot 2) (1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) & -(0 cdot 1 - 0 cdot 2) & (0 cdot (-1) - 0 cdot 1) = 12 1 & 2 & 0 1 & -2 & 2 1 & 0 & 0
Então:
P^-1 = 12 & 1 & 0 12 & -1 & 1 12 & 0 & 0

Passo 8

Agora, vamos refazer a multiplicação com a matriz inversa correta:
a b c = P^-1 cdot 2 2 -2 = 12 cdot 2 + 1 cdot 2 + 0 cdot (-2) 12 cdot 2 + (-1) cdot 2 + 1 cdot (-2) 12 cdot 2 + 0 cdot 2 + 0 cdot (-2) = 1 + 2 + 0 = 3 1 - 2 -2 = -3 1 + 0 + 0 = 1
Então, [v]F = (3, -3, 1) .

Passo 9

Agora, somando a + b + c :
a + b + c = 3 + (-3) + 1 = 3 -3 +1 = 1

Resposta

A soma a + b + c é igual a 1.

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