Seja B uma base de V^3 e considere os vetores v1, v2 e v3 satisfazendo [v1]B=(2,1,-1),[v2]B=(3,1,-2) e [v3]B=(-2,2,4). Sejam a, b, c números reais e u um vetor tais que [u]B=(a, b, c). Vale que u é combinação linear de v1, v2 e v3 se, e somente se:
(a) a-5 b+c=0;
(b) a-3 b+c=0;
(c) a-2 b+c=0;
(d) a-4 b+c=0;
(e) a-b+c=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir qual condição deve ser satisfeita pelos números a , b e c para que o vetor u seja uma combinação linear dos vetores v1 , v2 e v3 no espaço V^3 . A matéria envolvida aqui é combinação linear e sistemas de equações lineares. Vamos precisar entender como expressar u como uma mistura desses vetores e resolver um sistema que vai nos dar a condição desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Dizemos que u é uma combinação linear de v1 , v2 e v3 se existe algum número real lambda1 , lambda2 e lambda3 tais que:
u = lambda1 v1 + lambda2 v2 + lambda3 v3
Como estamos trabalhando com coordenadas na base B , podemos escrever isso usando as coordenadas dos vetores.

Passo 3

Sabemos que:
[v1]B = (2, 1, -1)
[v2]B = (3, 1, -2)
[v3]B = (-2, 2, 4)
[u]B = (a, b, c)
Então, em termos de coordenadas, a equação da combinação linear fica:
(a, b, c) = lambda1 (2, 1, -1) + lambda2 (3, 1, -2) + lambda3 (-2, 2, 4)

Passo 4

Agora, vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações. Isso significa igualar cada componente:
  1. Primeira componente:
a = 2lambda1 + 3lambda2 - 2lambda3
  1. Segunda componente:
b = lambda1 + lambda2 + 2lambda3
  1. Terceira componente:
c = -lambda1 - 2lambda2 + 4lambda3

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar uma condição que a , b e c devem satisfazer para que exista solução para lambda1 , lambda2 e lambda3 . Para isso, podemos montar uma matriz aumentada e verificar se o determinante das colunas dos coeficientes é zero ou não, mas há uma forma mais simples aqui já que estamos lidando com dependência linear.

Passo 6

Vamos organizar as equações que temos:
2lambda1 + 3lambda2 - 2lambda3 = a (1)
lambda1 + lambda2 + 2lambda3 = b (2)
-lambda1 - 2lambda2 + 4lambda3 = c (3)
Podemos resolver esse sistema para encontrar uma relação entre a , b e c .

Passo 7

Vamos resolver a equação (2) para lambda1 :
lambda1 = b - lambda2 - 2lambda3 (4)
Agora, substituímos lambda1 da equação (4) nas equações (1) e (3):
Substituindo na equação (1):
2(b - lambda2 - 2lambda3) + 3lambda2 - 2lambda3 = a
2b - 2lambda2 - 4lambda3 + 3lambda2 - 2lambda3 = a
2b + lambda2 - 6lambda3 = a (5)
Substituindo na equação (3):
-(b - lambda2 - 2lambda3) - 2lambda2 + 4lambda3 = c
- b + lambda2 + 2lambda3 - 2lambda2 + 4lambda3 = c
- b - lambda2 + 6lambda3 = c (6)

Passo 8

Agora temos as equações (5) e (6):
2b + lambda2 - 6lambda3 = a (5)
- b - lambda2 + 6lambda3 = c (6)
Vamos somar as duas equações para eliminar lambda2 e lambda3 :
2b + lambda2 - 6lambda3 - b - lambda2 + 6lambda3 = a + c
b = a + c
Portanto, a condição que deve ser satisfeita é:
a - b + c = 0

Resposta

Alternativa (e) a - b + c = 0 .

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