Seja E=(e1, e2, e3) uma base de V^3 satisfazendo:
  • |e1|=|e3|=1 e |e2|=2;
  • o ângulo entre e1 e e3 mede 60^circ;
  • e2 é ortogonal a e1 e a e3.
    Se u e v são vetores tais que [u]E=(0,-1,2) e [v]E=(-1,2,1), então o produto escalar u cdot v é igual a:
    (a) 7 ;
    (b) 10 ;
    (c) 0 ;
    (d) -7 ;
    (e) -10 .

Passo 1

O enunciado nos dá uma base E=(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) de R^3 que não é ortonormal. Sabemos que |overrightarrow e1|=|overrightarrow e3|=1, |overrightarrow e2|=2, o ângulo entre overrightarrow e1 e overrightarrow e3 é 60^circ e overrightarrow e2 é ortogonal a overrightarrow e1 e a overrightarrow e3. Os vetores vec u e vec v têm coordenadas [vec u]E=(0,-1,2) e [vec v]E=(-1,2,1). Precisamos calcular o produto escalar vec ucdotvec v.

Passo 2

Para usar
vec ucdotvec v ;=;sumi,jui,vj,lang<=overrightarrow ei,overrightarrow ejrang<=
precisamos dos produtos lang<=overrightarrow ei,overrightarrow ejrang<=. Como overrightarrow e2perpoverrightarrow e1 e overrightarrow e2perpoverrightarrow e3, só temos:
lang<=overrightarrow e1,overrightarrow e1rang<==1, lang<=overrightarrow e2,overrightarrow e2rang<==4, lang<=overrightarrow e3,overrightarrow e3rang<==1,
e o único cruzado não nulo é
lang<=overrightarrow e1,overrightarrow e3rang<= =lang<=overrightarrow e3,overrightarrow e1rang<= =cos 60^circ = tfrac12

Passo 3

Substituindo [vec u]E=(u1,u2,u3)=(0,-1,2) e [vec v]E=(v1,v2,v3)=(-1,2,1), o produto escalar vira
vec ucdotvec v = u1v1cdot1 + u2v2cdot4 + u3v3cdot1 + (u1v3 + u3v1)cdottfrac12

Passo 4

Calculando cada termo:
u1v1cdot1 = 0cdot(-1)cdot1 = 0, u2v2cdot4 = (-1)cdot2cdot4 = -8, u3v3cdot1 = 2cdot1cdot1 = 2,
(u1v3 + u3v1)cdottfrac12 = (0cdot1 + 2cdot(-1))cdottfrac12 = -2cdottfrac12 = -1
Somando tudo,
vec ucdotvec v = 0 - 8 + 2 - 1 = -7

Resposta

(d)

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