Sejam os vetores v1=(1,0,-1), v2=(1,2,1) e v3=(0,-1,0) do espaço R^3.
Mostre que beta=v1, v2, v3 é base de R^3.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
v1 = (1,0,-1), v2 = (1,2,1), v3 = (0,-1,0),
e pede para mostrar que beta = v1,v2,v3 é base de R^3.
Conteúdo: saber que um conjunto de três vetores em R^3 é base se, e somente se, for linearmente independente (ou se o determinante da matriz formada por eles for não nulo).

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores v1,v2,v3:
A = 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 -1 & 1 & 0

Passo 3

Calculamos o determinante de A.
det(A) = 1 cdot det!2 & -11 & 0 - 1 cdot det!0 & -1-1 & 0 + 0 cdot (cdots)
Agora
det!2 & -11 & 0 = 2cdot 0 - (-1)cdot 1 = 1, det!0 & -1-1 & 0 = 0cdot 0 -(-1)cdot(-1) = -1
Logo
det(A) = 1cdot 1 - 1cdot(-1) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Como det(A) = 2 neq 0, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes. Em R^3, três vetores linearmente independentes formam base.

Resposta

beta=v1,v2,v3 é base de R^3 pois o determinante da matriz formada por eles é 2neq0.

Exercícios relacionados